Produto de espaços métricos é um espaço métrico?

Nesta solução, iremos denotar uma bola de centro $a$ e raio $r$ num espaço métrico $(X,d)$ por $B^{d}(x,r).$ Vamos começar provando o seguinte resultado auxiliar:

Lema 1: Seja $(X,d)$ um espaço métrico. A aplicação $\overline{d} : X \times X \rightarrow [0,\infty)$ dada por
$$\overline{d}(x,y) = \min\{d(x,y), 1\}$$
é uma métrica em $X$ que induz a mesma topologia que $d$.

Demonstração: É imediato verificar que $\overline{d}(x,y) = \overline{d}(y,x)$, para todo $x,y \in X$, bem como, que $\overline{d}(x,y) = 0$ se, e somente se $x = y$. Provemos a desigualdade triangular. Sejam $x,y,z \in X$. Se $d(x,y) \geq 1$, temos
$$\overline{d}(x,z) = \min\{d(x,z),1\} \leq 1 = \min\{d(x,y),1\} = \overline{d}(x,y) \leq \overline{d}(x,y) + \overline{d}(y,z).$$
Também concluiríamos o mesmo supondo que $d(y,z) \geq 1$. Por isso, só nos resta provar o caso em que $d(x,y) < 1$ e $d(y,z) < 1$. Mas, neste caso

$$\overline{d}(x,z) = \min\{d(x,z),1\} \leq d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) = \overline{d}(x,y) + \overline{d}(y,z),$$
como queríamos. Por fim, sabemos que a coleção $\{B^{d}(a,\epsilon) : a \in X, \epsilon < 1\}$ forma uma base para a topologia $\tau_d$. Como $B^{d}(a,\epsilon) = B^{\overline{d}}(a,\epsilon)$, para todo $\epsilon < 1$, concluímos que $\tau_{d} = \tau_{\overline{d}}$.

Observação 1: Num espaço métrico $(X,d)$, tem-se a estabilização $B^{\overline{d}}(a,s) = X$, para todo $a \in X$ e $s > 1$.

Voltemos para a questão:

Defina $p: X \times X \rightarrow [0,\infty)$ por
$$p(x,y) = \sup_{n \in \mathbb{N}}\frac{\overline{d_n}(x_n, y_n)}{n},$$
onde $X = \prod_{n=1}^{\infty} X_n$. Vamos mostrar que $p$ é uma métrica que induz a topologia produto $\tau$ em $X$. Primeiramente note que $p$ está bem definida, pois, os números $\overline{d_n}(x_n,y_n)$ são limitados uniformementes por $1$. Além disso, utilizando o fato de cada $\overline{d_n}$ ser uma métrica (Lema 1) em $X_n$, mostra-se rapidamente que $p$ também é uma métrica.

Considere a subbase da topologia produto $\tau$:
$$\mathcal{C} = \{\pi_{n}^{-1}(B) : n \in \mathbb{N}\text{ e }B \in \tau_{d_n}\}$$
e mostremos que $\mathcal{C} \subset \tau_{p}.$ Sendo $C \in \mathcal{C}$, existe $m \in \mathbb{N}$ e $U \in \tau_{\overline{d_n}} = \tau_{d_n}$ tal que
$$C = \prod_{n=1}^{m-1} X_n \times U_m \times \prod_{n=m+1}^{\infty} X_n . $$

Dado $a \in C$, existe $r > 0$ tal que $B^{\overline{d_m}}(a_m, r) \subset U_m$. Daí $B^{p}(a,r/m) \subset C$, pois
$$x \in B^{p}(a,r/m) \implies \sup_{n \in \mathbb{N}}\frac{\overline{d_n}(x_n, a_n)}{n} < \frac{r}{m},$$
em particular, $\frac{\overline{d_m}(x_m, a_m)}{m} < \frac{r}{m}.$ Logo, $x_m \in B^{\overline{d_m}}(a_m, r)$ e com isto concluímos que $x \in C$. Portanto, $C$ é um aberto de $\tau_{p}$ e obtemos $\tau \subset \tau_{p}$.

Agora considere a seguinte base da topologia $\tau_{p}$:
$$\mathcal{B} = \{B^{p}(a,r) : a \in X , r > 0\}.$$
Mostremos que $\mathcal{B} \subset \tau.$ Com efeito, considere $a \in X$ e $r > 0$. A seguinte inclusão é verdadeira
$$\prod_{n=1}^{\infty} B^{\overline{d_n}}(a_n, rn/2) \subset B^{p}(a,r).$$
De fato,
$$x \in \prod_{n=1}^{\infty} B^{\overline{d_n}}(a_n, rn/2) \implies \overline{d_n}(x_n, a_n) < \frac{rn}{2}, \forall n \in \mathbb{N} \implies \frac{\overline{d_n}(x_n, a_n)}{n} < \frac{r}{2} \forall n \in \mathbb{N} .$$
Tomando o supremo sob $n \in \mathbb{N}$, obtemos $p(x,a) \leq \frac{r}{2} < r$, isto é, $x \in B^{p}(a,r).$ Em verdade, pela Observação 1 vemos que o último produtório se estabiliza. Mais precisamente
$$B^{\overline{d_n}}(a_n, rn/2) = X_n, \forall n > \frac{2}{r}.$$
Assim, fixando $n_0 > \frac{2}{r}$ obtemos a inclusão
$$\prod_{n=1}^{n_0 - 1} B^{\overline{d_n}}(a_n, rn/2) \times \prod_{n=n_0 }^{\infty} X_n \subset B^{p}(a,r).$$
Observe que o conjunto à esquerda da desigualdade acima é um aberto básico da topologia produto que contém $a$. Portanto, $B^{p}(a,r)$ é aberto de $\tau$ e $\tau = \tau_{p}$.

Em relação à pergunta final, ainda não sei se o resultado permanece válido quando o produto não é enumerável.