Atração de compacto: sugestões
Eu acho que não mencionei no post do trabalho final, mas acho que o espaço $X$ tem que ser Hausdorff.
Convergência no infinito
Dizer que $T(x,t) \xrightarrow{t \rightarrow \infty} a$ para todo $x$, é o mesmo que dizer que $T$ o sistema dinâmico $T$ pode ser estendido continuamente para
$$\tilde{T}: X \times [0,\infty] \rightarrow X,$$
fazendo $\tilde{T}(x,\infty) = a$. Sugiro que você fale sobre isso. É preciso dar uma topologia para $[0,\infty]$.
Compacidade
Considere a imagem dos conjuntos $K \times [s,\infty]$. São compactos e fechados. E formam uma família fechada por interseção finita. Sugiro que você fale sobre todas essas coisas.
Vizinhança de $a$
Tome uma vizinhança aberta $A \in \tau(a)$. Então, o complementar dessa vizinhança é um fechado. O que você quer, é encontrar $t_K$ que
$$A^c \cap T(K, [t_K, \infty]) = \emptyset.$$
Sugiro que você explique com detalhes como resolver o problema assim.
- AAyrton Teixeira @AyrtonAnjos
Tenho uma dúvida. Para mostrar o problema proposto para o trabalho final eu não usei que X é Hausdorff, mas também não consigo ver algum erro na demonstração, essa hipótese é mesmo necessário nesse ponto? Ou seria apenas para definir $\widetilde{T}$?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Tem que organizar o seu trabalho um pouquinho...
... você define compacidade num capítulo chamado "Atratores". :-)Teorema 1.1.5
Não entendi a definição do seu $A_t$. Seria isso?
$$A_t = \bigcap_{s > t} T_s^{-1}(V).$$Tá um pouco confuso, também, porque você usa o mesmo $x$ em dois locais diferentes.
Mesmo $T^{-1}(V)$ sendo aberto, não significa que seja o produto de dois abertos.
- Em resposta aAyrtonAnjos⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Talvez não seja necessário que seja Hausdorff. Não sei.
- Em resposta aAyrtonAnjos⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Quando eu fiz, eu preferi primeiro estender $T$ para $X \times [0,\infty]$. Então,
$$F_t = T(K \times [t,\infty])$$
é a imagem de um compacto por uma aplicação contínua. Se $X$ for Hausdorff, então, a imagem é fechada.Os $F_t$ são fechados e a interseção de todos eles dá $\{x\}$.
- AEm resposta aandrecaldas⬆:Ayrton Teixeira @AyrtonAnjos
Professor, gostaria de uma ajuda com o trabalho. Não consegui provar que $T$ pode ser estendida continuamente dessa forma, já tentei algumas definições de continuidade, por exemplo, dado $(x,\infty)$ temos $\widetilde{T}(x,\infty)=a$, aí dada uma vizinhança $V$ de $a$ não consigo encontrar uma vizinhança $U$ de $(x,\infty)$ tal que $\widetilde{T}(U)\subset V$. Na verdade esse problema me parece bastante similar com o problema principal do trabalho.
Desde já agradeço.- AAndré Caldas @andrecaldas
Acho que você tem razão! Parabéns!!! :-)
Vou pensar um pouquinho.Talvez, o que dê pra fazer seja o contrário! Você mostra que os compactos entram. E então, se $X$ for localmente compacto, significa que $T$ pode ser estendido...
- Em resposta aAyrtonAnjos⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
O que você acha de...
Falar sobre a "ideia do professor". E provar que a ideia do professor é ruim!!! Exatamente como você fez nesse comentário acima. :-)
E aí, depois você (todos nós) resolve (resolvemos) de outro jeito!
Pode ser interessante falar de caminhos que pareciam promissores, mas que não deram certo. ;-)
- AAyrton Teixeira @AyrtonAnjos
Beleza, professor kk. Farei isso.
Também vou pensar mais em como resolver o problema principal de outra forma.