Prezad@s,

Cada estudante tem interesses diferentes. Ao invés de escolher um único tema e impor a todos, decidi por dar a cada um a oportunidade de escrever sobre um tema dentre várias opções.

A ideia não é simplesmente escrever uma demonstração. O objetivo é que, até o final do curso, juntos, consigamos transformar um trabalho inicial em um trabalho "ideal". Que as ideias iniciais transformem-se e evoluam. Que juntos consigamos compreender e isolar a essência do problema. Que cada pedacinho do trabalho seja um aprendizado. :-)

Os temas marcados como fáceis só podem ser escolhidos por estudantes da graduação. Ainda não vimos conceitos necessários para entender o enunciado de muitos desses temas. Então... não se assuste. :-)

O professor irá acompanhar o desenvolvimento do trabalho. De um modo geral, as sugestões do professor devem ser acatadas, e o trabalho modificado para se enquadrar nessas recomendações. Eu procurei por problemas que acredito terem sido imporantes na minha própria vida acadêmica. Aceito sugestões de outros problemas. Nos próximos dias, podem aparecer novos problemas.

Use os comentários abaixo para tirar dúvidas sobre os problemas. Cada estudante deve utilizar os comentários para escolher, até o dia 25/12/2021, em ordem de preferência, ao menos dois temas sobre os quais esteja disposto a trabalhar. Imagino que cada um vá ficar com o tema que desejar. No entanto, dependendo do número de interessados, o professor poderá solicitar que o estudante mude o tema.

O trabalho deverá ser feito em $\LaTeX$, utilizando umas das seguintes plataformas:

1. Overleaf.
   https://www.overleaf.com/
2. GitHub.
   https://github.com/
3. Wiki do Talkyard. Esta é a pior opção. Deve ser utilizada somente se houver alguma dificuldade muito séria com alguma das outras duas plataformas.

Fácil

Atração de compacto

Um sistema dinâmico com tempo contínuo sobre um espaço topológico $X$ é uma aplicação contínua
$$T: X \times [0,\infty) \rightarrow X.$$
Algumas vezes, um sistema tem um atrator. Imagine que $a$ seja tal que para qualquer $x \in X$,
$$T(x,t) \xrightarrow{t \rightarrow \infty} a.$$
Por exemplo, isso acontece com $a = \vec{0}$ no sistema
\begin{align*}
T: \mathbb{R}^2 \times [0,\infty) &\rightarrow \mathbb{R}^2
\\
(\vec{v}, t) &\mapsto (\mathrm{e}^{-t})\, \vec{v}.
\end{align*}
Dada uma vizinhança $V$ do atrator $a$, para cada $x \in X$, existe um tempo $t_x$ tal que para todo $t \geq t_x$, $T(x,t) \in V$. No entanto, para cada $x \in X$, $t_x$ é diferente. No exemplo acima, nenhum conjunto ilimitado entra completamente em $V$ em nenhum tempo finito. Existem pontos que "demoram" mais e mais para entrar em $V$.

O objetivo deste trabalho, é mostrar que se $K \subset X$ é um conjunto compacto, então existe um instante $t_K$ tal que para todo $t \geq t_K$,
$$T(K, t) \subset V.$$

Continuidade fraco-fraco e forte-forte

Em um espaço de Banach $E$, temos a chamada topologia forte, que é a topologia da norma. E a topologia fraca. Que é a topologia inicial induzida por $E^*$, o conjunto dos funcionais lineares contínuos de $E$.

O objetivo deste trabalho é mostrar que se $T: E \rightarrow F$ é uma transformação linear entre espaços de Banach, então $T$ é forte-forte contínua (contínua nas topologias fortes) se, e somente se, for fraco-fraco contínua.

Compacto + Hausdorff $\Rightarrow$ $T_4$

O objetivo é mostrar essas duas coisas:

1. Um espaço compacto Hausdorff é $T_4$.
2. Um espaço Hausdorff localmente compacto é $T_3$.

Quociente de grupo topológico

Esse tem que saber um pouco sobre teoria de grupos.

Seja $G$ um grupo topológico, e $H$ um subgrupo. O conjunto das classes laterais $G/H$ pode ser munido da topologia quociente. Ou seja, a topologia final dada pela projeção canônica:
\begin{align*}
\pi: G &\rightarrow G/H
\\
g &\mapsto gH.
\end{align*}

O objetivo é mostrar que $G/H$ é Hausdorff se, e somente se, $H$ é um fechado de $G$.

Médio

Teorema de aplicação aberta

Em análise funcional, tem um teorema chamado de teorema da aplicação aberta, que diz que uma transformação linear contínua e sobrejetiva entre espaços de Banach é uma aplicação aberta. O teorema é consequência do chamado teorema de categoria de Baire.

O objetivo deste trabalho é fazer uma apresentação perfeita e o mais elegante possível desses dois teoremas.

Powerpoint (teoremas relacionados ao do gráfico fechado)

Existem quatro teoremas importantes em análise funcional, que podem ser deduzidos um do outro:

1. Teorema da aplicação aberta.
2. Teorema do gráfico fechado.
3. Teorema de Banach-Steinhaus.
4. Bijeção contínua entre espaços de Banach é um homeomorfismo.

O objetivo deste trabalho é mostrar como esses teoremas estão relacionados. Imagine um dos teoremas no centro, e os outros em volta, com um monte de setas apontando para o do centro.

Compactificação de um sistema dinâmico

Um sistema dinâmico com tempo discreto, é uma aplicação contínua
$$T: X \rightarrow X.$$
Por algum motivo, os matemáticos adoram quando os espaços topológicos são compactos. Se $X$ não é compacto, mas é Hausdorff localmente compacto, então existe um espaço topológico $X^*$, chamado de compactificação por um ponto de $X$. Podemos identificar $X$ com um subespaço de $(X^*)^{\mathbb{N}}$, e construir uma aplicação contínua
$$
\tilde{T}: (X^*)^{\mathbb{N}} \rightarrow (X^*)^{\mathbb{N}},
$$
de modo que para todo $x \in X$, $\tilde{T}x = Tx$.

Levantamento de caminhos e o grupo fundamental do círculo

Vamos denotar por $S^1$ o círculo, que pode ser concebido como o conjunto dos números complexos de valor absoluto igual a $1$.

Existe algo chamado de aplicação de recobrimento. Por exemplo,
\begin{align*}
R: \mathbb{R} &\rightarrow S^1
\\
t &\mapsto \mathrm{e}^{2\pi i t}
\end{align*}
é uma aplicação de recobrimento. Um caminho em um espaço $X$ é uma aplicação contínua
$$\varphi: [0,1] \rightarrow X.$$
Quando temos um recobrimento $R: Y \rightarrow X$, um caminho em $X$ pode ser levantado para um caminho em $Y$. Essa aplicação de recobrimento pode ser usada, por exemplo, para determinar o grupo fundamental do círculo $S^1$.

No nosso curso, não vamos falar de nenhma dessas coisas! O objetivo deste trabalho é falar sobre todas essas coisas e, ao final, determinar o grupo fundamental do círculo.

Não sei classificar :-)

Teorema de Krein-Milman

Demonstrar o teorema da melhor maneira que conseguirmos. O enunciado deve ser bem geral, para espaços vetoriais topológicos, e não apenas para espaços normados.

Curva de Peano

Construir uma sobrejeção contínua do intervalo $[0,1]$ no quadrado $[0,1] \times [0,1]$:
$$\varphi: [0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1].$$
https://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve#Outline_of_the_construction_of_a_space-filling_curve

Compactificação de Stone-Čech usando $[0,1]^{\mathscr{F}}$

Existe algo chamado de compactificação de Stone-Čech. O objetivo deste trabalho é explicar o que é a compactificação. Enunciar e demonstrar sua existência.

Esistem várias formas de construir a compactificação de Stone-Čech. Neste trabalho, a compactificação deve ser construída como um subespaço de um cubo $[0,1]^{\mathscr{F}}$.

Teorema de Tychonoff com ultrafiltros

O produto de espaços topológicos compactos é compacto. Esse é o teorema de Tychonoff. O objetivo deste trabalho é demonstrar o teorema utilizando o conceito de ultrafiltros.