Atração de compacto: sugestões

2021-12-31 11:46:16.951Z

Eu acho que não mencionei no post do trabalho final, mas acho que o espaço $X$ tem que ser Hausdorff.

Convergência no infinito

Dizer que $T (x, t) \overset{t \to \infty}{\to} a$ para todo $x$ , é o mesmo que dizer que $T$ o sistema dinâmico $T$ pode ser estendido continuamente para
$\tilde{T} : X \times [0, \infty] \to X,$
fazendo $\tilde{T} (x, \infty) = a$ . Sugiro que você fale sobre isso. É preciso dar uma topologia para $[0, \infty]$ .

Compacidade

Considere a imagem dos conjuntos $K \times [s, \infty]$ . São compactos e fechados. E formam uma família fechada por interseção finita. Sugiro que você fale sobre todas essas coisas.

Vizinhança de $a$

Tome uma vizinhança aberta $A \in τ (a)$ . Então, o complementar dessa vizinhança é um fechado. O que você quer, é encontrar $t_{K}$ que
$A^{c} \cap T (K, [t_{K}, \infty]) = \emptyset .$
Sugiro que você explique com detalhes como resolver o problema assim.

Responder

8 respostas

A
Ayrton Teixeira @AyrtonAnjos
2022-01-03 17:28:42.302Z
Tenho uma dúvida. Para mostrar o problema proposto para o trabalho final eu não usei que X é Hausdorff, mas também não consigo ver algum erro na demonstração, essa hipótese é mesmo necessário nesse ponto? Ou seria apenas para definir $\tilde{T}$ ?
Responder
1. A André Caldas @andrecaldas
  2022-01-03 20:53:53.136Z
  Tem que organizar o seu trabalho um pouquinho...
  ... você define compacidade num capítulo chamado "Atratores". :-)
  
  Teorema 1.1.5
  
  Não entendi a definição do seu $A_{t}$ . Seria isso?
  $A_{t} = ⋂_{s > t} T_{s}^{- 1} (V) .$
  
  Tá um pouco confuso, também, porque você usa o mesmo $x$ em dois locais diferentes.
  
  Mesmo $T^{- 1} (V)$ sendo aberto, não significa que seja o produto de dois abertos.
  Responder
2. Em resposta aAyrtonAnjos⬆:
  A André Caldas @andrecaldas
  2022-01-03 20:57:28.712Z
  Talvez não seja necessário que seja Hausdorff. Não sei.
  Responder
3. Em resposta aAyrtonAnjos⬆:
  A André Caldas @andrecaldas
  2022-01-03 21:03:59.215Z
  Quando eu fiz, eu preferi primeiro estender $T$ para $X \times [0, \infty]$ . Então,
  $F_{t} = T (K \times [t, \infty])$
  é a imagem de um compacto por uma aplicação contínua. Se $X$ for Hausdorff, então, a imagem é fechada.
  
  Os $F_{t}$ são fechados e a interseção de todos eles dá ${x}$ .
  Responder
A
Em resposta aandrecaldas⬆:
Ayrton Teixeira @AyrtonAnjos
2022-01-10 18:06:32.070Z
Professor, gostaria de uma ajuda com o trabalho. Não consegui provar que $T$ pode ser estendida continuamente dessa forma, já tentei algumas definições de continuidade, por exemplo, dado $(x, \infty)$ temos $\tilde{T} (x, \infty) = a$ , aí dada uma vizinhança $V$ de $a$ não consigo encontrar uma vizinhança $U$ de $(x, \infty)$ tal que $\tilde{T} (U) \subset V$ . Na verdade esse problema me parece bastante similar com o problema principal do trabalho.
Desde já agradeço.
Responder
1. A André Caldas @andrecaldas
  2022-01-10 19:16:08.419Z
  Acho que você tem razão! Parabéns!!! :-)
  Vou pensar um pouquinho.
  
  Talvez, o que dê pra fazer seja o contrário! Você mostra que os compactos entram. E então, se $X$ for localmente compacto, significa que $T$ pode ser estendido...
  Responder 1 Curte
2. Em resposta aAyrtonAnjos⬆:
  A André Caldas @andrecaldas
  2022-01-11 00:34:56.727Z
  O que você acha de...
  
  Falar sobre a "ideia do professor". E provar que a ideia do professor é ruim!!! Exatamente como você fez nesse comentário acima. :-)
  
  E aí, depois você (todos nós) resolve (resolvemos) de outro jeito!
  
  Pode ser interessante falar de caminhos que pareciam promissores, mas que não deram certo. ;-)
  Responder
  A Ayrton Teixeira @AyrtonAnjos
  2022-01-11 11:37:32.297Z
  Beleza, professor kk. Farei isso.
  Também vou pensar mais em como resolver o problema principal de outra forma.
  
  Responder 1 Curte

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Vizinhança de a

Teorema 1.1.5

Vizinhança de $a$