Prova 1 - Verão/2020 - Questão 6.2

Essa questão pede para mostrar que se $f,g :X \to Y$ são contínuas e $Y$ é Hausdorff, então
$$
B = \{ x \in X \ | \ f(x) = g(x) \}
$$ é fechado.

Eu tentei mostrar que se $x \notin B$, então $x \notin \overline{B}$, mas não sei se concluí certo. Segue o raciocínio, estou aberto a sugestões :-)

Seja $x \notin B$. Temos então que $f(x) \neq g(x)$. Como $Y$ é Hausdorff, então existem abertos disjuntos $A_1, A_2$ de $Y$ tais que $f(x) \in A_1$ e $g(x) \in A_2$.

Da continuidade de $f$ e $g$, temos que
$$
A = f^{-1}(A_1) \cap g^{-1}(A_2)
$$ é um aberto de $X$ que contém $x$.

A partir daqui eu não tenho certeza se o argumento tá certo:

Suponhamos que existe $y \in A \cap B$. Então temos
$$
y \in f(A) \subseteq A_1 \cap f(g^{-1}(A_2))
$$ e
$$
y \in g(A) \subseteq g(f^{-1}(A_1)) \cap A_2.
$$ Daí, segue que
$$
y \in f(A) \cap g(A) \subseteq A_1 \cap A_2 = \varnothing,
$$ o que é absurdo. Logo, $A \cap B = \varnothing$ e, portanto, $x \notin \overline{B}$, donde concluímos que $B$ é fechado.

Solução alternativa dada no vídeo https://www.youtube.com/watch?v=fV7TamP2zo4:

Defina
$$
F: X \to Y \times Y
$$ tal que
$$
F(x) = (f(x), g(x)).
$$ Note que $F$ é contínua por ser contínua em cada coordenada e também que
$$
B = F^{-1}(\Delta_Y),
$$ sendo $\Delta_Y$ a diagonal em $Y \times Y$. Como $Y$ é Hausdorff, o Prova 1 - Verão/2020 - Questão 6.1 garante que $\Delta_Y$ é fechado e, como $F$ é contínua, temos $B$ fechado também.