Prova 1 - Verão/2020 - Questão 6.1
A questão pede para mostrar que dado um espaço topológico $X$, o conjunto
$$
\Delta = \{ (x,x) \ | \ x\in X \} \subseteq X \times X
$$ é fechado na topologia produto se, e somente se, $X$ é Hausdorff.
Pensei no seguinte argumento para demonstrar:
se $\Delta$ é fechado então dado $(x,y) \in X\times X$ com $x\neq y$, esse ponto tem uma vizinhança $V \subset X\times X$ tal que
$$
V \cap \Delta = \varnothing.
$$ Ora, mas $V$ contém $A\times B$, sendo $A,B \in \tau_X$, pela definição da topologia produto. Temos então que
$$
(x,y) \in A \times B
$$ mas também que
$$
(x,x) \notin A\times B.
$$ Portanto, para todo $a\in X$ temos $(a,a) \notin A\times B$, ou seja, $A$ e $B$ são disjuntos e, portanto, $X$ é Hausdorff.
Para a volta, eu usei que se $X$ é Hausdorff então $X\times X$ é Hausdorff na topologia produto (eu lembro de ter a demonstração disso aqui no fórum, se achar eu referencio aqui). Vou escrever o argumento da forma que eu pensei, talvez fique mais fácil de seguir o raciocínio:
- pega $(x,y) \in \overline{\Delta}$;
- toda vizinhança de $(x,y)$, por definição, intercepta $\Delta$;
- $X\times X$ é Hausdorff;
- então se $x\neq y$, vai existir uma vizinhança de $(x,y)$ que não contém $(x,x)$, por exemplo;
- isso implica que nem toda vizinhança de $(x,y)$ intercepta $\Delta$, absurdo;
- portanto, devemos ter $x=y$, ou seja, $\overline{\Delta} \subseteq \Delta$, donde segue que $\Delta$ é fechado.
PS: encontrei a demonstração de que produto (arbitrário) de Hausdorff é Hausdorff, créditos ao @rodolfo_edp: Lista 2/05 - Exercício 1
Linked from:
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Muito legal a sua solução @CaioTomas !
Para a reciproca também da pra usar o exercício 5 da Lista 2/04 que diz que:
Se $ f:X\rightarrow Y$ é contínua e $Y$ é Hausdorff então o gráfico de $f$ é fechado
Assim, como a aplicação identidade é contínua e seu gráfico é exatamente a diagonal segue-se que $\Delta$ é um subconjunto fechado no espaço produto. - AEm resposta aCaioTomas⬆:André Caldas @andrecaldas
Só tem que tomar um pequeno cuidado. Note que $x$ e $y$ estão fixados. Então, não basta argumentar que $(x,x) \not \in A \times B$ pra concluir que são disjuntos.
A volta é quase igual à ida (seria igual se você tivesse usado a base). Tome abertos $A \in \tau(x)$ e $B \in \tau(y)$ disjuntos. Então, $A \times B$ é vizinhança de $(x,y)$ e não tem interseção com $\Delta$ (porque são disjuntos).
Note que $(x,y)$ não estar em $\Delta$ é o mesmo que $x \neq y$.
Caio Tomás de Paula @CaioTomasNa ida a minha intenção era tomar um ponto qualquer fora de $\Delta$. Talvez assim esteja melhor escrito:
se $\Delta$ é fechado então para todo $\mathbf{x} = (x,y) \in X\times X$ com $x\neq y$, existe uma vizinhança $V_{ \mathbf{x} } \subset X\times X$ tal que
$$
V_{ \mathbf{x} } \cap \Delta = \varnothing.
$$ Ora, mas $V_{ \mathbf{x} }$ contém $A_{ \mathbf{x} } \times B_{ \mathbf{x} }$, sendo $A_{ \mathbf{x} },B_{ \mathbf{x} } \in \tau_X$, pela definição da topologia produto. Temos então que
$$
(x,y) \in A_{ \mathbf{x} } \times B_{ \mathbf{x} }
$$ mas também que
$$
(x,x) \notin A_{ \mathbf{x} } \times B_{ \mathbf{x} }.
$$ Ora, então $A_{\mathbf{x}}$ e $B_{\mathbf{x}}$ são abertos disjuntos de $X$ com $x\in A$ e $y\in B$. Então da arbitrariedade de $(x,y)$ segue que $X$ é Hausdorff.- AAndré Caldas @andrecaldas
Continua igual. Você fixou o $\mathbf{x} = (x,y)$. Então, tem que escolher outra letra lá em baixo. :-)
Para todo $a \in X$, $(a,a) \not \in A \times B$. Ou seja, $A \cap B = \emptyset$.
- Caio Tomás de Paula @CaioTomas
Entendi! Vou trocar no post lá de cima
- AEm resposta aCaioTomas⬆:André Caldas @andrecaldas
Tá aqui:
https://youtu.be/fV7TamP2zo4?t=562