Prova 1 - Verão/2020 - Questão 6.2

Essa questão pede para mostrar que se $f,g:X\to Y$ são contínuas e $Y$ é Hausdorff, então
$$B=\{x\in X|f(x)=g(x)\}$$ é fechado.

Eu tentei mostrar que se $x\notin B$, então $x\notin \bar{B}$, mas não sei se concluí certo. Segue o raciocínio, estou aberto a sugestões :-)

Seja $x\notin B$. Temos então que $f(x)\ne g(x)$. Como $Y$ é Hausdorff, então existem abertos disjuntos $A_1,A_2$ de $Y$ tais que $f(x)\in A_1$ e $g(x)\in A_2$.

Da continuidade de $f$ e $g$, temos que
$$A=f^{-1}(A_1)\cap g^{-1}(A_2)$$ é um aberto de $X$ que contém $x$.

A partir daqui eu não tenho certeza se o argumento tá certo:

Suponhamos que existe $y\in A\cap B$. Então temos
$$y\in f(A)\subseteq A_1\cap f(g^{-1}(A_2))$$ e
$$y\in g(A)\subseteq g(f^{-1}(A_1))\cap A_2.$$ Daí, segue que
$$y\in f(A)\cap g(A)\subseteq A_1\cap A_2=\varnothing ,$$ o que é absurdo. Logo, $A\cap B=\varnothing$ e, portanto, $x\notin \bar{B}$, donde concluímos que $B$ é fechado.

Solução alternativa dada no vídeo https://www.youtube.com/watch?v=fV7TamP2zo4:

Defina
$$F:X\to Y\times Y$$ tal que
$$F(x)=(f(x),g(x)).$$ Note que $F$ é contínua por ser contínua em cada coordenada e também que
$$B=F^{-1}({\mathrm{\Delta }}_Y),$$ sendo ${\mathrm{\Delta }}_Y$ a diagonal em $Y\times Y$. Como $Y$ é Hausdorff, o Prova 1 - Verão/2020 - Questão 6.1 garante que ${\mathrm{\Delta }}_Y$ é fechado e, como $F$ é contínua, temos $B$ fechado também.