Desafio: gráfico fechado... continuidade... compacidade.
Por André Caldas @andrecaldas
Suponha que $Y$ seja um espaço compacto.
Mostre que (utilize outros exercícios), se $f: X \rightarrow Y$ tem o gráfico fechado, então é contínua.
Mais ainda... se $Y$ for Hausdorff, então o gráfico de $f$ é fechado se, e somente se, $f$ é contínua!
- GGeorge Kiametis @georgekiametis
Por hipótese, $Y$ é compacto, então
\begin{align*}
\pi_1: X \times Y &\rightarrow X\\
(x,y) &\mapsto x
\end{align*}
é uma aplicação fechada por Projeção fechada. .Disso e da hipótese de que $f: X \rightarrow Y$ tem gráfico fechado, segue que $f$ é contínua por Lista 2/04 Exercício 10 .
Se $Y$ é Hausdorff e $f: X \rightarrow Y$ é contínua, então o gráfico de $f$ é fechado por Lista 2/04 Exercício 5 .
- AAndré Caldas @andrecaldas
Moleza, hein! :-)