Espaço métrico: conjunto unitário é fechado
Série B
Seja $(X,d)$ um espaço métrico, e $a \in X$ um elemento de $X$.
Mostre que o conjunto $\{a\}$ é fechado.
Utilize a seguinte definição de fechado:
- Um conjunto $F$ é fechado $\Leftrightarrow$ $F = \overline{F}$.
E a seguinte definição de fecho: - $\overline{D} = \{x \in X:\, \forall V \in \mathcal{V}(x),\, V \cap D \neq \emptyset \}$.
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Caio Tomás de Paula @CaioTomasÉ claro que $a\in\overline{\{a\}}$ pois toda vizinhança de $a$ contém $a$. Tome $X\ni b\neq a$. Note que a bola $B_{\varepsilon}(b)$ com $\varepsilon < d(a,b)$ é uma vizinhança de $b$ que não contém $a$. Logo, $\{a\} = \overline{\{a\}}$, ou seja, $\{a\}$ é fechado.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Olá, @CaioTomas!!!
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Você não precisa assumir que $b$ está no fecho de $a$! Você não usou essa hipótese em lugar nenhum. Você tomou um $b \in X$ diferente de $a$, e mostrou que ele não está no fecho.
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Seria bacana melhorar um pouquinho a formatação. Só pra ficar mais bonito.
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Acho que você deveria considerar ir pra Séria A. :-)
Por que você não experimenta uns problemas lá da Série A? Pode levar um dia inteiro ou dois resolvendo... fazer perguntas e tal...
Caio Tomás de Paula @CaioTomasDesafio aceito, professor! Acho que agora o texto melhorou, só não consegui me colocar na Série A ainda xD
- AAndré Caldas @andrecaldas
Não tava habilitado pra vocês editarem o wiki. Dê uma olhada se agora dá.
Se os exercícios aqui estiverem muito fáceis... não precisa responder, não... dê um tempinho aos outros. Se os da Série A estiverem difíceis, você pode pegar exercícios da lista e colocar aqui. Seria uma boa pra você treinar escrever "bonitinho". Vamos colocar essa empolgação para ajudar a todos!! :-)
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