Lista 1/03 - Exercício 3

Antes, vamos provar o seguinte:

$\textbf{Afirmação.}$ A métrica
\begin{align*}
d: X \times X &\longrightarrow \mathbb{R}
\\
(x,y) &\mapsto d(x,y)
\end{align*}
é uma função contínua:

$\textbf{Demonstração.}$

Defina em $X \times X$ a métrica $\delta[(x,y),(x',y')] := d(x,x') + d(y,y')$. Note que
\begin{align*}
|d(x,y) - d(x',y')| &= |d(x,y) - d(x',y) + d(x',y) - d(x',y')|
\\
&\leq |d(x,y) - d(x',y)| + |d(x',y) - d(x',y')|
\\
&\leq d(x,x') + d(y,y')
\\
&= \delta[(x,y),(x',y')].
\end{align*}

Assim, dada $(x_n,y_n) \subset X \times X$ com $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \delta[(x_n,y_n),(x,y)] = 0$, vemos que

$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} |d(x_n,y_n) - d(x,y)| = 0$$

pela desigualdade acima, o que prova a continuidade da métrica $d$. c.q.d.

$\textbf{Observação.}$ Vale que existe $C > 0$ tal que

$$|d(x,y) - d(x',y')| \leq C \eta[(x,y),(x',y')], \forall (x,y), (x',y') \in X \times X$$

quando $\eta$ é a métrica da soma ou a métrica Euclideana definida no exercício Lista 1/02 - Exercício 10 - versão 1, pois, por esse exercício, a métrica $\eta$ é equivalente a métrica $\delta$, portanto

$$|d(x,y) - d(x',y')| \leq \delta[(x,y),(x',y')] \leq C \eta[(x,y),(x',y')], \forall (x,y), (x',y') \in X \times X.$$

Agora, seja $X^2$ com a métrica $\delta$
\begin{align*}
\delta: X^2 \times X^2 &\longrightarrow \mathbb{R}
\\
(a,b) &\mapsto \delta(a,b)
\end{align*}
qualquer.

Observe que

$$\Delta = d^{-1}(\{ 0 \}).$$

Por Espaço métrico: conjunto unitário é fechado, $\{ 0 \}$ é fechado na topologia usual de $\mathbb{R}$. Pela Afirmação, $d$ é contínua e, sendo $\{ 0 \}$ fechado, $\Delta$ é fechado em $(X^2,\delta)$, pois imagem inversa de fechado por aplicação contínua é um conjunto fechado.

Por fim, segue da Observação que $\Delta$ é fechado em $X^2$ de maneira análoga ao que foi feito no parágrafo anterior quando trocamos a métrica $\delta$ pela métrica da soma ou a métrica Euclideana.