Resolvi postar esse exercício pois sua formulação está incorreta. Os conjuntos $X$ e $Y$ precisam ser os mesmos.
Seja $X$ um conjunto qualquer e $p,q: X \times X \to [0,+\infty)$ duas métricas em $X$. Mostre que as métricas abaixo definem os mesmos sistemas de vizinhanças, isto é, são equivalentes:
- $d_1(x,y)=p(x,y)+q(x,y), \forall x,y \in X$ (métrica da soma)
- $d_2(x,y)=\sqrt{p(x,y)^2+q(x,y)^2}, \forall x,y \in X$ (métrica euclidiana)
- $d_3(x,y)=\max\{p(x,y),q(x,y)\}, \forall x,y \in X$ (métrica do máximo)
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- AAndré Caldas @andrecaldas
A formulação está errada em outro ponto. Minha intensão era:
$$
d_1((a,b), (x,y)) = p(a,x) + q(b,y).
$$
Onde $(a,b), (x,y) \in X \times Y$.Mudei o título do post, pra se alguém quiser fazer uma "versão 2". :-)
Em resposta arodolfo_edp⬆:Caio Tomás de Paula @CaioTomasVamos mostrar que as três métricas são equivalentes duas a duas. Seja $(x,y)\in X\times X$ um ponto qualquer. Note que, do fato de $p$ e $q$ serem métricas, temos
$$
d_2(x,y) \geq p(x,y) \ \text{ e } \ d_2(x,y) \geq q(x,y),
$$ donde
$$
d_2(x,y) \geq \frac{1}{2}d_1(x,y).
$$ Por outro lado,
$$
d_2(x,y) \leq \sqrt{ (p(x,y) + q(x,y))^2 } = d_1(x,y),
$$ logo
$$
\frac{1}{2}d_1(x,y) \leq d_2(x,y) \leq d_1(x,y), \forall (x,y)\in X\times X,
$$ ou seja, $d_1$ e $d_2$ são equivalentes. Mostramos agora que $d_2$ e $d_3$ são equivalentes. Note primeiro que
$$
d_2(x,y) \leq \sqrt{2\max(p(x,y), q(x,y))^2} = \sqrt{2}d_3(x,y).
$$ Ademais,
$$
d_3(x,y) \leq d_1(x,y) \leq 2d_2(x,y),
$$ de modo que
$$
\frac{1}{\sqrt{2}}d_2(x,y) \leq d_3(x,y) \leq 2d_2(x,y), \forall (x,y)\in X\times X,
$$ ou seja, $d_2$ e $d_3$ são equivalentes. Segue então que
$$
\frac{1}{2\sqrt{2}}d_1(x,y) \leq d_3(x,y) \leq d_1(x,y), \forall (x,y)\in X\times X
$$ e $d_1$ e $d_3$ também são equivalentes.- AAndré Caldas @andrecaldas
E as vizinhanças? Equivalente significa gerarem as mesmas vizinhanças em todos os pontos.