Uma norma induz uma métrica.

Vamos utilizar as propriedades da norma.

Vamos mostrar que $d$ satisfaz os axiomas para ser considerada uma métrica. Para quaisquer que sejam $x,y,z\in V$,

1. $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$.
   De fato,
   $$
   \begin{align*}
   d(x,y) = 0 &\iff \| y-x \| = 0 \\&\iff y-x = 0 \\&\iff x = y,
   \end{align*}
   $$

2. $d(x,y) = d(y,x)$.
   $$
   \begin{align*}
   d(x,y) &= \|y - x\| \\&= \| -1(x-y) \| \\&= |-1|\,\|x - y\| \\&= \|x-y\| \\&= d(y,x)
   \end{align*}
   $$

3. Desigualdade triangular.
   $$
   \begin{align*}
   d(x,z) &= \|z - x\| \\&= \|z - y + y - x\| \\&\leq \|z-y\| + \|y-x\| \\&= d(y,z) + d(x,y)
   \end{align*}
   $$

Por satisfazer todos os axiomas, $d$ é uma métrica em $V$.