Espaços métricos: unicidade dos limites

2021-12-03 02:12:56.222Z2021-12-03 11:12:38.747Z

Série B

Seja $(X, d)$ um espaço métrico. Suponha que $x_{n} \in X$ é tal que
$x_{n} \to a e x_{n} \to b .$
Ou seja, $x_{n}$ converge tanto pra $a$ quanto para $b$ , então $a = b$ .

Resolvido no post #4, clique para visualizar

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3 respostas

J
Jonatas da Silva Peralta @JonatasPeralta
2021-12-03 12:16:45.776Z2021-12-03 12:38:05.321Z
Seja $x_{n}$ uma sequência no espaço métrico (X,d).
E sejam $a, b$ $\in$ X, de tal forma que
$x_{n}$ $\to a$ e $x_{n}$ $\to b$
Dado $ϵ > 0$ arbitrário,
existe $n_{0}$ $\in$ $N$ tal que $n > n_{0}$ $\Rightarrow$ $d (x_{n}, a) < ϵ$ .
E ainda, existe um $n_{1}$ $\in$ $N$ tal que $n > n_{1}$ $\Rightarrow$ $d (x_{n}, b) < ϵ$ .
Tomemos então $n \in$ $N$ maior do que $n_{0}$ e $n_{1}$ . Então ,
$d (a, b) \leq d (x_{n}, a) + d (x_{n}, b) < 2 ϵ$
Segue que, $0 \leq d (a, b) < 2 ϵ$ para todo $ϵ > 0$ .
E isto, nos dá que $d (a, b) = 0$ ,e portanto, $a = b$
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1. A André Caldas @andrecaldas
  2021-12-03 12:24:05.518Z
  Releia tudo o que você escreveu... e escreva bem bonito!
  
  Em espaços métricos, é comum escrevermos $lim x_{n} = a$ , justamente porque o limite, quando existe, é único. Mas se você está demonstrando que é único... $lim x_{n} = a$ não é uma boa notação! :-)
  
  Faça parágrafos e tal... seja bem gentil com quem vai ler!
  
  Veja esse exemplo.
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D
Em resposta aandrecaldas⬆:
Diovana de Oliveira Mussolin @diovanamussolin
2021-12-04 22:57:00.153Z2021-12-04 23:17:01.244Z
Sejam $(X, d)$ um espaço métrico e $x_{n} \in X$ uma sequência de pontos de $X$ . Suponha que $x_{n} ⟶ a e x_{n} ⟶ b,$ com $a, b \in X$ .

Como $x_{n}$ converge para $a$ , pela definição de convergência, dado $ϵ > 0$ arbitrário, existe $N_{1} \in N$ tal que, para $N \geq N_{1}$ , temos $d (x_{n}, a) < \frac{ϵ}{2} .$
Agora, como $x_{n}$ converge para $b$ , pela definição de convergência, para este mesmo $ϵ > 0$ arbitrário que tomamos anteriormente, existe $N_{2} \in N$ tal que, para $N \geq N_{2}$ , temos $d (x_{n}, b) < \frac{ϵ}{2} .$

Sendo assim, tomando $N_{0} = m á x$ { $N_{1}, N_{2}$ }, tal que $N \geq N_{0}$ , temos
$d (a, b) \leq d (x_{n}, a) + d (x_{n}, b) \leq \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ .$
Como $ϵ > 0$ é arbitrário, e $0 \leq d (a, b) < ϵ$ , então $d (a, b) = 0$ . Portanto, $a = b$ .
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