Translação de normas
Série B
Suponha que $\|\cdot\|$ é uma norma em $\mathbb{R}^n$. Mostre que, na topologia da norma, para qualquer $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$,
$$
\mathcal{V}(\vec{a}) = \vec{a} + \mathcal{V}(\vec{0}).
$$
Onde, a notação $\vec{a} + \mathcal{V}(\vec{0})$ indica a translação por $\vec{a}$ de cada vizinhança $V \in \mathcal{V}$.
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Como vi que a questão estava sem resposta e já foi feita há 2 dias, resolvi por uma dica:
Para mostrar isso, basta mostrar que dado $r>0$:
$$
B_r(\vec{a}) = \vec{a} + rB_1(\vec{0})
$$Isto é, dado $\vec{v} \in B_r(\vec{a}), \vec{v} = \vec{a} + r \vec{u}$, onde $\vec{u} \in B_1(\vec{0})$
- MMatheus de Freitas Souza @Matheus
Para mostrar esta propriedade, basta ver que, se $v \in S_r(a)$, a esfera de raio $r$ e centro $a$, então $||v-a|| = r$ implica que $v-a = ru$ com $||u|| = 1$, ou $u \in S_1(0)$. Segue então que
$$v = a + ru.$$
O mesmo vale para todos os valores menores que $r$, o que implica que
$$B_r(a) = a + rB_1(0) = a + B_r(0),$$
ou seja, $B_r(a)$ é a imagem de $B_r(0)$ pela translação de vetor $a$.Seja $V \in \mathcal{V}(0)$, então existe $r>0$ tal que $B_r(0) \subseteq V$. Denote por $V'$ a imagem de $V$ pela translação de vetor diretor $a$. Sendo $b \in V$ um ponto qualquer, usamos que translações preservam normas e obtemos
$$||b - 0|| = ||(a+b) - a||.$$
Isto mostra que, se $B_r(0) \subseteq V$, então $B_r(a) = a + B_r(0) \subseteq V'$. Logo, $V' \in \mathcal{V}(a)$. Um argumento análogo usando que a inversa de uma translação é uma translação mostra que, se $W \in \mathcal{V}(a)$, então a imagem de $W$ pela translação de vetor $-a$ está em $\mathcal{V}(0)$. O que conclui a demonstração, isto é, $\mathcal{V}(a)$ é a imagem de $\mathcal{V}(0)$ por uma translação de vetor $a$.- AAndré Caldas @andrecaldas
Olha que interessante... dá pra fazer com sequências!!!
- Em resposta aMatheus⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Muito bom!!!
Acho que a aula de amanhã é sobre "bases de filtros". Usando "bases" deve ficar ainda mais simples.