Translação é contínua

É fácil ver que sua inversa é $S_{-a}$ que associa, a cada vetor $v$, o vetor $-a + v$, basta usar que a soma de vetores é associativa. Sendo $(v_n)_{n \in \mathbb{N^*}}$ uma sequência em $E$ que converge para $v$, temos diretamente que $S_a(v_n) = a + v_n$ converge para $a + v = S_a(v)$. Logo, $S_a$ é contínua, já que $v_n$ é uma sequência qualquer. A inversa de $S_a$ também é contínua, pois é uma transformação do mesmo tipo.

Seja $(E, ||.||)$ um espaço vetorial normado e $a \in E$ um ponto qualquer. Vamos mostrar que

$$
\begin{align*}
S_{a}: E &\rightarrow E
\\
v & \mapsto v+a
\end{align*}
$$
é inversível, contínua e sua inversa também é contínua.
$$S_{a} \mbox{ é inversível }$$
$S_{a}$ é injetora.
De fato, sejam $u,v\in E$ tais que $S_{a}(u)=S_{a}(v)$. Daí,
$$S_{a}(u)=S_{a}(v)\Leftrightarrow u+a=v+a \Leftrightarrow u=v$$
$S_{a}$ é sobrejetora.
De fato, para $u\in E$ qualquer, tome $v=u-a$. Logo,
$$S_{a}(v)=v+a=(u-a)+a=u$$
Inversa de $S_{a}$ é dada por $$
\begin{align*}
S^{-1}_{a}: E &\rightarrow E
\\
v & \mapsto v-a
\end{align*}
$$

De fato,
$(S_{a}(S^{-1}_{a}(v)))=S_{a}(v-a)=(v-a)+a=v$

$(S^{-1}_{a}(S_{a}(v)))=S^{-1}_{a}(v+a)=(v+a)-a=v$

$$S_{a} \mbox{ é contínua }$$
Num espaço vetorial normado $E$ sabemos que $d(u,v)=||u-v||.$

Fixe $u\in E$. Para todo $\varepsilon>0$ dado, tome $\delta=\varepsilon>0.$

Assim, se $d(u,v)=||u-v||<\delta$ então

$d(S_{a}(u),S_{a}(v))=||S_{a}(u)-S_{a}(v)||=||u+a-(v+a)||=||u-v||<\delta=\varepsilon.$

$$S^{-1}_{a} \mbox{ é contínua }$$

Fixe $u\in E$. Para todo $\varepsilon>0$ dado, tome $\delta=\varepsilon>0.$

Assim, se $d(u,v)=||u-v||<\delta$ então

$d(S^{-1}_{a}(u),S^{-1}_{a}(v))=||S^{-1}_{a}(u)-S^{-1}_{a}(v)||=||u+a-(v+a)||=||u-v||<\delta=\varepsilon.$