Série B
Considere os espaços normados $(V, \|\cdot\|_1)$ e $(W, \|\cdot\|_2)$. Seja
$$
T: V \rightarrow W
$$
uma transformação linear que é contínua (nas topologias das normas) em um determinado ponto $\vec{p} \in V$. Mostre que $T$ é contínua em todo ponto.
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Seja $p\in V$ em ponto em que $T$ é contínua. Dado $\epsilon=1$ existe $\delta>0$ tal que,
\begin{align*}
x\in V,\|x-p \|_{1}<\delta\Rightarrow\|T(x)-T(p)\|_{2}<1.
\end{align*}
Seja agora $b\neq 0\in V$ e considere
\begin{align*}
u=p+\frac{\delta}{2}\cdot\frac{b}{\|b\|_{1}},
\end{align*}
ou ainda,
\begin{align*}
u-p=\frac{\delta}{2}\cdot\frac{b}{\|b\|_{1}}
\end{align*}
Logo,
\begin{equation}
\|u-p\|_{1}=\frac{\delta}{2} (*)
\end{equation}
Por outro lado, sendo $T$ linear segue-se que,
\begin{align*}
\|T(u)-T(p)\|_{2}& =|T(u-p)\|_{2}\\ &=\|T\left(\frac{\delta}{2}\cdot\frac{b}{\|b\|_{1}}\right)\|_{2}\\
&=\frac{\delta}{2\|b\|_{1}}\cdot\|T(b)\|_{2}
\end{align*}
Usando $(*)$ e o fato que $T$ é contínua em $p$ temos,
\begin{align*}
\frac{\delta}{2\|b\|_{1}}\cdot\|T(b)\|_{2}<1\Rightarrow\|T(b)\|_{2}<\frac{2\|b\|_{1}}{\delta}
\end{align*}
Denotando $c=\frac{2}{\delta}$ tem-se,
\begin{align*}
\|T(b)\|_{2}<c\cdot\|b\|_{1}
\end{align*}
Como $b$ foi tomado arbitrário temos o resultado.- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Acredito que na última linha deveria estar
$$
||T(b)||_2 < c ||b||_1
$$
Além disso, não se esqueça do caso $b=0$. Neste caso, vale a igualdade na expressão acima. E assim, temos para todo $b \in V$, que:
$$
||T(b)||_2 \le c ||b||_1
$$Acho que talvez seria interessante comentar que linearidade + limitação implicam em continuidade
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Corrigi. Você tem razão é que como considerei $b\neq0$ na hipótese deixei $<$ mesmo. Quando $b=0_{V}$, $T(b)=0_{W}$ e temos igualdade que você comentou. Obrigado pela observação.
- Em resposta aJoaovitor⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Um dos objetivos do curso é
acabar com o $\varepsilon$!!!
E com o $\delta$, também!
- Em resposta aJoaovitor⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Gostaria de sugerir que você use a definição de continuidade com vizinhanças. E então utilize o exercício sobre translação em espaços normados. Vai se surpreender! :-)
Peça ajuda se não estiver conseguindo.
Espero conseguir conquistar um adepto ao movimento "anti-$\varepsilon$". :-)
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Professor estou tentando aqui mas sinceramente esta bem difícil de sair algo. As coisas ficam muito abstratas e esta complicado para escrever. Se o senhor puder dar uma ajuda.
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
O professor sugeriu utilizar o exercício sobre a translação em espaços normados pq tendo esse resultado em mãos e a continuidade em um ponto dada na hipótese, vc pode transferir essa continuidade para qualquer outro ponto usando translação e a linearidade do operador. Tenta formalizar a partir dessa ideia e se não der certo, discutimos aqui
- Em resposta aJoaovitor⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Foi muito ruim escolher a letra $V$ para o espaço vetorial. Era melhor ter usado $E$, porque $V$, aqui, costuma ser vizinhança... :-(
Se $T$ é linear, $T(\vec{v} + B) = T\vec{v} + T(B)$. Vamos denotar $\vec{w} := T\vec{v}$. Com a imagem inversa não sei se dá uma igualdade (acho que até dá)... mas com certeza:
$$
T^{-1}(\vec{w} + U)
\supset
\vec{v} + T^{-1}(U).
$$O exercício sobre translação diz que $U$ é uma vizinhança de um ponto $\vec{p}$, se e somente se, $\vec{q} - \vec{p} + U$ for uma vizinhança de $\vec{q}$.
A continuidade de $T$ no ponto $\vec{p}$, diz pra você que para toda vizinhança $Z$ (tá faltando letra) de $T\vec{p}$, temos que
$$
T^{-1}(Z) \in \mathcal{V}(\vec{p}).
$$O que você precisa fazer, é mostrar que
$$
T^{-1}(H) \in \mathcal{V}(\vec{q}),
$$
onde $H$ é uma vizinhança arbitrária de $T\vec{q}$.Tente aí, que a gente vai melhorando... :-)
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Denotemos $T\vec{p}=\vec{w}\in W$. Primeiramente, observemos que $T$ é contínua em $\vec{p}$ se, e somente se,
\begin{align*}
U\in\mathcal{V}(w)\Rightarrow T^{-1}(U)\in\mathcal{V}(\vec{p}).
\end{align*}Considere agora $\vec{q}\in V$ arbitrário e mostremos que $T$ é contínua em $\vec{q}$.
De fato, sabemos pelo exercício de Translação de normas que $U$ é uma vizinhança de $\vec{p}$ se, e somente se, $q-\vec{p}+U$ for uma vizinhança de $\vec{q}$. Daí, considere $T\vec{q}=\vec{z}$ e note que,\begin{align*}
H\in\mathcal{V}(z)
&\iff T\vec{q}-T\vec{p}+H=\vec{z}-\vec{w}+H\in\mathcal{V}(w)
\\&\Rightarrow T^{-1}((\vec{z}-\vec{w})+H) \in \mathcal{V}(\vec{p})
\\&\Rightarrow \vec{q}-\vec{p} +T^{-1}(H)\in \mathcal{V}(\vec{p})
\\&\iff T^{-1}(H)\in\mathcal{V}(\vec{q})
\end{align*}
Portanto, $T$ é contínua em $q$ e daí o resultado segue.- AAndré Caldas @andrecaldas
Como você se sente depois de ter "acabado com o $\varepsilon$"? :-)
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Bem melhor professor kkkk
- AAndré Caldas @andrecaldas
Eu tô até emocionado...
Parabéns! :-)
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Obrigado.