Transformação linear limitada

$\Rightarrow)$ Suponha que $T$ seja limitada. Sabemos que existe $C>0$ tal que $$||T(x)||<C||x|| $$ Logo, $$||T(x)-T(y)||=||T(x-y)|| \le C||(x-y||$$ Assim, $$||T(x)-T(y)||\le C||(x-y||$$ Portanto, T é lipschitz e assim, contínua.

$\Leftarrow)$ Suponha T contínua, tomando $\epsilon = 1$ então $||T(x)|| \le A= sup_{||x|| \le 1} ||T(x)||.$ Logo, para $x \ne 0$ tem-se $$ \frac{||T(x)||}{||x||} = ||T \left ( \frac{x}{||X||} \right )|| \le A$$
Logo é limitada.

Essa foi minha ideia, estou tendo uma boa dificuldade na plataforma :(

Sejam $(V, |\cdot|_1)$ e $(W, |\cdot|_2)$ espaços normados, sabemos que uma função $| \cdot|$: $X \to \mathbb{R}$ é uma norma quando acontecer:

1.$ |x| \geq 0 , \forall , x , \in X \textit{ e } |x|=0 \longleftrightarrow x=0$
2.$|\alpha x|=|\alpha||x|$ para todo $\alpha$ escalar e $x \in X$
3.$|x+y|\leq |x|+|y| \quad \forall , x,y \in X$

Agora considere o conjunto $A\subset V$ limitado, ou seja existe um $\epsilon > 0$ de modo que:

$$A \subset B_{\epsilon}(\vec{0})$$

Sabemos do exercício da $\textbf{serie B}$ Uma norma induz uma métrica. sendo a seguinte métrica:

$$d(x,y) = |y - x|$$

Desda forma podemos determinar quem é $ B_{\epsilon}(\vec{0})$. Como $A \subset V$ utilizaremos a função $|\cdot|_1$ Observe:

\begin{align*}
B_{\epsilon}(\vec{0}) &= \lbrace x \in X | d(x,0)< \epsilon \rbrace
\\
&=\lbrace x \in X / |0-x|_1< \epsilon \rbrace
\\
&=\lbrace x \in X / |-x|_1< \epsilon \rbrace
\\
&=\lbrace x \in X / |-1||x|_1< \epsilon \rbrace
\\
B_{\epsilon}(\vec{0}) &=\lbrace x \in X / |x|_1< \epsilon \rbrace
\end{align*}

Vamos então mostrar que a transformação linear é continua se, e somente se a imagem de qualquer conjunto limitado pela transformação também for limitado.

Primeiramente recordemos a definição de transformação linear.
$T:V \to W$ é dita uma $\textbf{transformação linear}$ se, para quaisquer $x,y \in V$ e $\alpha \in K$( onde $K$ é o corpo de escalares de $V$.) Valem as relações:

1.$T(x+y)=T(x)+T(y)$
2.$T(\alpha x)=\alpha T(x)$

Começaremos coma volta $(\Leftarrow)$
Suponha $T$ limitada, Logo para $A \subset V$ limitado temos que $T(A)$ é limitado.

$$T(A) \subset B_{\delta}(\vec{0})$$

Suponha que $T(A)$ é aberto, queremos mostrar que a imagem inversa de $T(A)$ é aberta, para concluirmos que $T$ é continua. Ou seja, queremos mostrar que:
$$T^{-1}(T(A)) \in \mathcal{V}(A)$$

A partir de agora como continuar? Ou devo apagar tudo e recomeçar por outro lado.