Série B
Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Suponha que $x_n \in X$ é tal que
$$
x_n \rightarrow a\quad\text{e}\quad x_n \rightarrow b.
$$
Ou seja, $x_n$ converge tanto pra $a$ quanto para $b$, então $a = b$.
- JJonatas da Silva Peralta @JonatasPeralta
Seja $x_{n}$ uma sequência no espaço métrico (X,d).
E sejam $a,b$ $\in$ X, de tal forma que
$ x_{n }$ $\rightarrow a$ e $ x_{n}$ $\rightarrow b $
Dado $\epsilon >0$ arbitrário,
existe $n_{0}$ $\in$ $\mathbb{N}$ tal que $ n>n_{0}$ $\Rightarrow$ $d(x_{n},a)<\epsilon$.
E ainda, existe um $n_{1}$ $\in$ $\mathbb{N}$ tal que $n>n_{1}$$\Rightarrow$ $d(x_{n},b)<\epsilon$.
Tomemos então $n \in$ $\mathbb{N}$ maior do que $n_{0}$ e $n_{1}$. Então ,
$d(a,b)\leq d(x_{n},a)+d(x_{n},b)<2\epsilon$
Segue que, $0\leq d(a,b)<2\epsilon$ para todo $\epsilon>0$.
E isto, nos dá que $d(a,b)=0$ ,e portanto, $a=b$- AAndré Caldas @andrecaldas
Releia tudo o que você escreveu... e escreva bem bonito!
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Em espaços métricos, é comum escrevermos $\lim x_n = a$, justamente porque o limite, quando existe, é único. Mas se você está demonstrando que é único... $\lim x_n = a$ não é uma boa notação! :-)
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Faça parágrafos e tal... seja bem gentil com quem vai ler!
Veja esse exemplo.
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- DEm resposta aandrecaldas⬆:Diovana de Oliveira Mussolin @diovanamussolin
Sejam $(X, d)$ um espaço métrico e $x_n \in X$ uma sequência de pontos de $X$. Suponha que $$x_n \longrightarrow a \quad \text{ e } \quad x_n \longrightarrow b,$$ com $a, b \in X$.
Como $x_n$ converge para $a$, pela definição de convergência, dado $\epsilon > 0$ arbitrário, existe $N_1 \in \mathbb{N}$ tal que, para $N \geq N_1$, temos $$d(x_n,a) < \frac{\epsilon}{2}.$$
Agora, como $x_n$ converge para $b$, pela definição de convergência, para este mesmo $\epsilon > 0$ arbitrário que tomamos anteriormente, existe $N_2 \in \mathbb{N}$ tal que, para $N \geq N_2$, temos $$d(x_n,b) < \frac{\epsilon}{2}.$$Sendo assim, tomando $N_0 = máx${$N_1,N_2$}, tal que $ N \geq N_0$, temos
$$d(a,b) \leq d(x_n,a) + d(x_n, b) \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon. $$
Como $\epsilon > 0$ é arbitrário, e $0 \leq d(a,b)< \epsilon$, então $ d(a,b) =0$. Portanto, $a=b$.