Equivalência de normas: seminormas

Sejam $|\cdot|$ e $|| \cdot ||$ uma seminorma e uma norma em $\mathbb{R}^n$, respectivamente e $\vec{a}\in \mathbb{R}^n$. Seja $V\in \mathcal{V}_{|\cdot|}(\vec{a})$. Assim, existe $B\in \mathcal{B}_{|\cdot|}(\vec{a})$ tal que $B\subset V$. Queremos mostrar que existe $\bar{B} \in \mathcal{B}_{||\cdot||}(\vec{a})$ tal que $\bar{B}\subset V$. Já vimos que ao se somar uma norma com uma seminorma, obtemos uma norma, assim a aplicação $[ \ \cdot \ ]: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ dada por $[v]=|v|+||v||$ é uma norma em $\mathbb{R}^n$. Seja $r>0$ tal que:
$$
B=\{v\in \mathbb{R}^n:|v-a|<r\}
$$
Assim, definindo $B_0=\{v \in \mathbb{R}^n:[v-a]<r\}$, temos que $B_0 \subset B$, afinal se $v\in B_0$, vale que:
$$
r>[v-a]\ge |v-a|+||v-a|| \implies |v-a|<r \implies v \in B
$$
Por hipótese, todas as normas em $\mathbb{R}^n$ são equivalentes, logo existem $c,d>0$onde :
$$
c||x||\le [x]\le d||x||, \forall x \in \mathbb{R}^n
$$
Seja $\delta=r/d$ e $\bar{B}=\{v \in \mathbb{R}^n: ||v-a||<\delta\}$. Dado $v \in\bar{B}$, temos que:
$$[v-a]\le d||v-a||<d\delta=r \implies v \in B_0
$$
Logo, $\bar{B}\subset B_0\subset B \subset V$ o que implica que $V\in \mathcal{V}_{||\cdot||}(\vec{a})$

Se $V \in \mathcal{V}_{|\cdot|}(a),$ então existe $\epsilon > 0$ tal que $B^{|\cdot|}_{\epsilon}(a) \subset V$. Vimos em um exercício da série A que a soma de uma norma com uma seminorma em $\mathbb{R}^{n}$ é sempre uma norma, logo $||\cdot|| + |\cdot|$ é uma norma em $\mathbb{R}^n$. Como normas em $\mathbb{R}^{n}$ são equivalentes, existe $K > 0$ tal que
$$||x|| + |x| \leq K ||x||, \forall x \in \mathbb{R}^n,$$
o que implica, $|x| \leq K ||x||, \forall x \in \mathbb{R}^n.$ Disso e tomando $r < \epsilon/K$ segue que $B^{||\cdot||}_{r}(a) \subset B^{|\cdot|}_{\epsilon}(a)$, afinal, se $||y - a|| < r$, então $|y-a| \leq K ||y-a|| < K \frac{\epsilon}{K} = \epsilon.$ Portanto $B^{||\cdot||}_{r}(a) \subset V$ e concluímos que $V \in \mathcal{V}_{||\cdot||}(a)$.