Equivalência de normas: continuidade

Usando o fato de que todas as normas em $\mathbb{R}^n$ são equivalentes, tomemos a norma euclideana $|\cdot|$ em ambos $\mathbb{R}^p$ e $\mathbb{R}^q$. Da linearidade de $T$, sabemos que existe $k\in\mathbb{R}$ tal que
$$
|T(x)|\leq k|x|, \forall x\in\mathbb{R}^p.
$$ Sejam $a\in\mathbb{R}^p$ e $\varepsilon > 0$. Tome $\delta = \varepsilon/k$ e suponha que $|x-a| < \delta$. Nesse caso, como $T$ é linear, temos
$$
|T(x) - T(a)| = |T(x-a)| \leq k|x-a| < k\delta = \varepsilon.
$$ Logo, como $a$ foi tomado arbitrariamente, temos $T$ contínua em $\mathbb{R}^p$.

Seja $T:\mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^q$ uma aplicação linear. Seja $\{e_1,..,e_p\}$ a base canônica de $\mathbb{R}^p$. Dado $v\in \mathbb{R}^p$, existem únicos $v_1,...,v_p \in \mathbb{R}$ tais que:
$$
v=\sum_{i=1}^{p}v_ie_i
$$
Daí, pela linearidade de $T$:
$$
T(v)=\sum_{i=1}^{p}v_iT(e_i)
$$
Das propriedades de norma, segue que:
$$
||T(v)||_q \le \sum_{i=1}^{p}|v_i|||T(e_i)||_q
$$
Seja $M= \max_{1\le i\le p} ||T(e_i)||_q$. Daí:
$$
||T(v)||_q \le M\sum_{i=1}^{p}|v_i|
$$
Mas a norma a soma é:
$$
||v||_1=\sum_{i=1}^{p}|v_i|
$$
Assim, da equivalência das normas em $\mathbb{R}^p$, segue que existe $C>0$, tal que:
$$
||v||_1\le C||v||_p
$$
Daí, definindo $c=MC$, temos
$$
||T(v)||_q \le c||v||_p
$$
Com isso, tomando $v=x-y$, temos que:
$$
||T(x)-T(y)||_q\le c||x-y||_p, \forall x,y \in \mathbb{R}^p
$$
Logo, $T$ é Lipschitziana e em particular é contínua.

Talvez uma outra contribuição interessante para essa questão é um exemplo de transformação linear descontínua.
Aqui vimos que transformações lineares entre espaços euclidianos são contínuas, com um argumento análogo é possível mostrar que transformações lineares entre espaços vetoriais normados de dimensão finita são contínuas, assim precisamos "procurar" em espaços de dimensão infinita.

Vou dar o exemplo (com mais detalhes) que vi no livro do Elon de espaços métricos.

Seja $E$ o espaço real dos polinômios $p:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ e tome em $E$ a norma $|\cdot|$ dada por $|p|=sup\{|p(x)|\mid 0\leqslant x\leqslant 1 \} $. Note que $|\cdot|$ é de fato uma norma, pois para quaisquer $p,q\in E$ e $\lambda\in\mathbb{R}$ temos:

1. Se $p\neq 0$, então $|p|\geqslant 0$, pois existe $x_0\in[0,1]$ tal que $p(x_0)\neq 0$, já que $p(x)$ tem um número finito de raízes.
2. $|\lambda p|=|\lambda||p|$ e $|p+q|\leqslant |p|+|q|$ seguem de propriedades do sup.

Daí defina $f:E\mapsto \mathbb{R}$ por $f(p)=p(2)$. Temos que $f$ é uma transformação linear, pois para quaisquer $p,q\in E$ e $\lambda\in\mathbb{R}$ vale que:

1. $f(p+q)=(p+q)(2)=p(2)+q(2)=f(p)+q(p).$
2. $f(\lambda p)=(\lambda p)(2)=\lambda(p(2))=\lambda f(p).$

Afirmamos que $f$ é descontínua no polinômio nulo. De fato, defina a sequência $(p_n(x))$ onde $p_n(x)=(x/2)^n$. Essa sequência converge para o polinômio nulo, pois dado $\varepsilon>0$ podemos tomar $n$ tal que
$$|p_n-0|=|p_n|=(1/2)^n<\varepsilon.$$
Por outro lado
$$|f(p_n)|=|p_n(2)|=1.$$
Logo $(f(p_n))$ não converge para $f(0)=0$ e portanto $f$ não é contínua no polinômio nulo, como queríamos.