Função indicadora continua

Seja $a\in A$ e vejamos quando $I_{A}$ é contínua nesse ponto. Note que, tomando $\epsilon=\frac{1}{2}$ devemos ser capazes de obter $\delta>0$ tal que,
\begin{align*}
|x-a|<\delta\Rightarrow|I_{A}(x)-I_{A}(a)=|I_{A}(x)-1|<\frac{1}{2}
\end{align*}
Como $I_{A}$ só assumem os valores $1$ e $0$ a única possibilidade para implicação acima ser verdadeira é se $I_{A}(x)=1$, ou seja, $x\in A$. Neste caso, $(a-\delta,a+\delta)\subset A$, ou seja, concluímos que $I_{A}$ é contínua num ponto $a\in A$ se,e somente se, $A$ é uma vizinhança de $a$ ($a\in int(A)$). De maneira análoga pode-se verificar que $I_{A}$ é contínua num ponto $b\in\mathbb{R}-A$ se, e somente se, $\mathbb{R}-A$ é uma vizinhança de $b$. Assim, podemos concluir que os pontos de descontinuidade de $I_{A}$ são aqueles que estão na fronteira do conjunto $A$.