Lista 1/02 - Exercício 12

Em toda a solução, iremos utilizar a Definição 2.6. do livro.

Caso 1: Seja $q \in \mathbb{Q}$ e $(q_n)_{n=1}^{\infty} \subset \mathbb{Q} $ tal que $q_n \rightarrow q$ quando $n \rightarrow \infty$ na métrica $d$. Comecemos provando que se $q \in (a,b)$, então $I_{(a,b)}$ é contínua no mesmo. Com efeito, seja $\epsilon > 0$ tal que $(q-\epsilon, q + \epsilon) \subset (a,b)$ e considere a bola centrada em $q$ de raio $\epsilon$ na métrica $d$ $B^{d}_{\epsilon}(q) := (q-\epsilon, q + \epsilon) \cap \mathbb{Q} \subset (a,b)$. Devido a convergência de $(q_n)_{n=1}^{\infty}$, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $q_n \in B^{d}_{\epsilon}(q)$ sempre que $n \geq n_0$. Assim, $I_{(a,b)}(q_n) = 1$, para todo $n \geq n_0$ e concluímos que $I_{(a,b)}(q_n) \rightarrow I_{(a,b)}(q) = 1,$ quando $n \rightarrow \infty.$ Agora, se $q \not\in (a,b)$, $q \neq a$ e $q \neq b$, então existe $r > 0$ tal que $(q-r, q + r) \subset (a,b)^{C}$ (complementar de $(a,b)$). De maneira análoga a que acabamos de fazer, podemos concluir que existe $n_1 \in \mathbb{N}$ tal que $q_n \in (a,b)^{C}$, para todo $n \geq n_1$. Portanto, $I_{(a,b)}(q_n) = 0$, para todo $n \geq n_1$ e, portanto, $I_{(a,b)}(q_n) \rightarrow I_{(a,b)}(q) = 0$. Com isso concluímos que $I_{(a,b)}$ é contínua em $q$, sempre que $q \not\in [a,b]$. Por fim, vamos mostrar que $I_{(a,b)}$ não é contínua tanto em $a$, quanto em $b$. De fato, considere $p_n = b - \frac{1}{n},$ com $n \in \mathbb{N}$. Observe que $p_n \rightarrow b$ quando $n \rightarrow \infty$. Além disso, em algum momento essa sequência irá entrar no intervalo $(a,b)$ e não sai mais. Mais precisamente, para $n > \frac{1}{b-a}$ temos que $a < p_n <b.$ Portanto, $I_{(a,b)}(p_n) = 1$, para todo $n > \frac{1}{b-a}$, porém $I_{(a,b)}(b) = 0$. De maneira análoga podemos mostrar a descontinuidade de $I_{(a,b)}$ em $a$.

Os casos 2 e 3 são análogos ao caso 1.

Caso 4: Suponhamos que $A$ seja não vazio. Seja $A \subset \mathbb{Q}$ qualquer e considere $q \in \mathbb{Q}$. Se $A^{c}$ for um conjunto aberto em $\mathbb{R}$, então $I_{A}$ será contínua em $q$, desde que $q \not\in A$ e descontínua caso contrário. De fato, se $q \not\in A$, então $I_{A}(q) = 0$. E, dado $\epsilon > 0$ de modo que $1 \not\in (-\epsilon, \epsilon)$, segue que $I_{A}^{-1}((-\epsilon, \epsilon)) = A^{c} \cap \mathbb{Q}$, que é aberto em $(\mathbb{Q},d)$ (lembre que os abertos relativos são dados dessa forma). Por outro lado, se $q \in A$, então $I_{A}(q) = 1$. Dessa forma, escolhendo $\epsilon > 0$ tal que $0 \not \in (1-\epsilon,1+\epsilon)$, obtemos: $I_{A}^{-1}((1-\epsilon,1+\epsilon)) = A = A \cap \mathbb{Q}$. Observe que $A$ não é aberto em $\mathbb{R}$, pois estamos supondo que seu complementar já é aberto (aqui estamos usando o fato de análise na reta que diz que em $\mathbb{R},$ os únicos conjuntos fechados e abertos é o vazio ou $\mathbb{R}$).