Lista 1/02 - Exercício 11

Temos que:
$$
I_A(x) = \begin{cases}
1, \quad x \in A \\
0, \quad x \in \mathbb{R} \setminus A
\end{cases}
$$

É óbvio que $I_A$ é contínua quando $A=\emptyset$ ou quando $A=\mathbb{R}$ já que nesses casos, ela é uma função constante. Mas será que existem conjuntos não-triviais onde as suas funções indicadoras sejam contínuas?

Primeiramente, mostremos que $x \in \mathbb{R}$ é ponto de descontinuidade de $I_A$ se, e somente se, $x \in \partial A := \bar{A} \setminus \mathrm{int}(A)$

1. $(\longrightarrow)$ Suponha que $x$ é um ponto de descontinuidade de $I_A$. Assim, existe $\epsilon >0$ tal que para todo $\delta>0$, existe $y_\delta$ que satisfaz $d(y_\delta,x)<\delta$, mas que $d(I_A(y_\delta),I_A(x)) \ge \epsilon$. Caso $x \notin \partial A$, para um certo $\delta >0$, valeria que $B_\delta(x) \cap A = \emptyset$ ou $B_\delta(x) \cap (\mathbb{R} \setminus A) = \emptyset$. Dividamos então em casos:

a) Se $B_\delta(x) \cap A = \emptyset$, então $B_\delta(x) \subset \mathbb{R} \setminus A$. Em particular, $y_\delta, x \in \mathbb{R} \setminus A$ o que implica que $I_A(x)=0=I_A(y_\delta)$. Sendo assim, $d(I_A(y_\delta),I_A(x)) = 0 < \epsilon$. Portanto este caso não pode ocorrer.

b) Se $B_\delta(x) \cap (\mathbb{R} \setminus A) = \emptyset$, então $B_\delta(x) \subset A$. Em particular, $y_\delta, x \in A$ o que implica que $I_A(x)=1=I_A(y_\delta)$. Sendo assim, $d(I_A(y_\delta),I_A(x)) = 0 < \epsilon$. Portanto este caso não pode ocorrer.

Logo, $x\in \partial A$

1. $(\longleftarrow)$ Tome $x \in \partial A$. Dado $n \in \mathbb{N}$, existem $x_n \in A$ e $y_n \in \mathbb{R}\setminus A$ tais que:
   $$
   d(x_n,x)=|x_n-x| < \dfrac{1}{n} \quad \mbox{e} \quad d(y_n,x) = |y_n-x|<\dfrac{1}{n}
   $$
   Assim, $x_n \to x$ e $y_n \to x$.
   Caso $I_A$ fosse contínua em $x$, então $\lim_{n\to \infty} I_A(x_n)= I_A(x)=\lim_{n\to \infty}I_A(y_n)$. No entanto, $I_A(x_n) = 1 \to 1$ e $I_A(y_n) = 0 \to 0$. Logo, $x$ é um ponto de descontinuidade de $I_A$.

Assim, $I_A$ é contínua $\iff D=\{x \in \mathbb{R}: I_A \ \mbox{é descontínua em} \ x\} = \emptyset \iff \partial A = \emptyset$

Isto é, a função indicadora do conjunto $A$ é contínua somente quando este tem fronteira vazia. Mas será que existe um subconjunto próprio (e não-vazio) de $\mathbb{R}$ que tenha fronteira vazia? A resposta é não e isso segue da conexidade de $\mathbb{R}$. Com efeito, se $A \subsetneq \mathbb{R}$ é tal que $\partial A = \emptyset $ e $A \neq \emptyset$ então $\mathbb{R} \neq \bar{A}= \mathrm{int}(A) \neq \emptyset$. Com isso, $\bar{A}$ é um subconjunto próprio e não-vazio de $\mathbb{R}$ que é aberto e fechado ao mesmo tempo, o que feriria a conexidade de $\mathbb{R}$.

Portanto, $I_A$ só é contínua nos casos triviais $A=\mathbb{R}$ e $A=\emptyset$.