Curso online de Topologia Geral do departamento de matemática da Universidade de Brasília, ministrado pelo professor André Caldas (@andrecaldas).
Maiores detalhes na página:
http://andrec.mat.unb.br/ensino/topologia_online/
| Tópicos, mais recentemente ativo primeiro | Categoria | Usuários | Respostas | Atividade |
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Prova 1 - Verão/2020 - Questão 6.2 Essa questão pede para mostrar que se $f,g :X \to Y$ são contínuas e $Y$ é Hausdorff, então $$ B = \{ x \in X \ | \ f(x) = g(x) \} $$ é fechado. Eu tentei mostrar que se $x \notin B$, então $x \notin \overline{B}$, mas não sei se concluí certo. Segue... | Resolução Completa |  A | 9 | 2022-01-06 14:45:00.040Z |
Prova 1 - Verão/2020 - Questão 6.1 A questão pede para mostrar que dado um espaço topológico $X$, o conjunto $$ \Delta = \{ (x,x) \ | \ x\in X \} \subseteq X \times X $$ é fechado na topologia produto se, e somente se, $X$ é Hausdorff. Pensei no seguinte argumento para demonstrar: se ... | Resolução Completa | JA | 6 | 2022-01-06 14:29:15.609Z |
Formalização do Teorema da Subbase de Alexander Vamos demonstrar o Teorema da subbase de Alexander (visto na aula de ontem no vídeo Compacidade na Topologia Produto): Seja $X$ um espaço topológico e $\mathscr{C}$ uma subbase para a topologia em $X$. Se toda cobertura aberta $\mathscr{A} \subseteq ... | Dever de casa dos vídeos | MRAM | 7 | 2022-01-06 13:09:10.368Z |
Prova 2 - 2020 - Questão 2 Exercício: Seja $X$ um espaço de Hausdorff e $K \subset X$ um compacto. Mostre que $K$ é fechado. Resolução: Basta mostrar que $X \setminus K$ é aberto. Seja $x \in X \setminus K$ arbitrário. Para cada $y \in K$, devido a $X$ ser Hausdorff, existem v... | Resolução Completa | RDA | 8 | 2022-01-05 15:49:08.822Z |
Preparação para a primeira etapa. Prezad@s, Daqui a algumas horas, 00:00 do dia 05/01/2022, vou baixar e compilar o trabalho de vocês no meu computador, usando esses comandos: $ xelatex trabalho_final_de_topologia_geral
$ bibtex trabalho_final_de_topologia_geral
$ xelatex traba... | Trabalho final | ATRA | 4 | 2022-01-05 11:34:42.418Z |
Prova 1 – Verão/2020- Questão 1 Seja $X$ um conjunto munido de uma topologia dada por uma família de abertos $\tau$. Com os elementos de $\tau$ , para cada $x \in X$, podemos construir a família: \begin{equation*} \alpha(x) = \{V \subset X \mid \exists A \in \tau, x \in A \subset V... | Resolução Completa | VJA | 13 | 2022-01-04 22:22:15.938Z |
Um linhão... Qual é a diferença entre essas duas linhas? se você escrever um linhão enorme... se você escrever um linhão enorme... se você escrever um linhão enorme... se você escrever um linhão enorme... se você escrever um linhão enorme... se você escrever um l... | Trabalho final | A | 0 | 2022-01-03 16:27:54.633Z |
Lista 2/04 - Exercício 8 Mostre que a projeção $$ \pi_1: X\times Y\to X $$ é aberta. | Exercícios da lista | EA | 6 | 2022-01-02 15:45:44.830Z |
Lista 2/01 Exercício 5.7.a) Para cada um dos casos abaixo, mostre que $(X,\tau)$ é uma topologia. Compactificação por um Ponto dos Reais. Seja $X=\mathbb{R}\cup \{\bigstar\}$. Denote a topologia usual dos reais por $\gamma$. a)$\tau=\gamma \cup \left\{\{\bigstar\} \cup F^{\comp... | Exercícios da lista | EME | 2 | 2022-01-02 13:27:55.361Z |
Etapas do trabalho final Prezad@s, O trabalho final deverá ser apresentado em etapas. Em cada etapa, vou ler o que você fez e fazer comentários e sugestões. Se você já estiver mais adiantado com o trabalho, é claro que você não precisa desfazer o que está feito. Apenas se ce... | Trabalho final | A | 0 | 2022-01-01 22:13:29.167Z |
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Quociente de grupo topológico Na primeira aula depois do recesso, vou fazer quase tudo! :-) $T_0$ É importante saber que em grupos topológicos, $$T_0 \Rightarrow T_2.$$ $T_1$ É importante saber que $T_1$ é o mesmo que: Todo conjunto unitário é fechado. | Trabalho final | A | 0 | 2021-12-31 12:10:47.178Z |
Compacto + Hausdorff $\Rightarrow$ $T_4$: sugestões Regularidade Regularidade normalmente é definida em termos de vizinhanças disjuntas que separam fechados e pontos. Mas também pode ser expressa dizendo que a família $\mathscr{F}(x)$ de vizinhanças fechadas de $x$ é uma base de vizinhanças para qualq... | Trabalho final | A | 0 | 2021-12-31 11:56:42.743Z |
Lista 2/01 - Exercício 5.8 Seja $X = \mathbb{C} \cup \{\bigstar\}$ o conjunto dos complexos estendidos. Denote a topologia usual dos complexos por por $\gamma$. Considerando $$ \tau = \gamma \cup \left\{\{\bigstar\} \cup F^{c}\ |\ F^c \in \gamma, F\ é\ limitado \right \},$$ mo... | Exercícios da lista | M2AE | 8 | 2021-12-30 22:59:06.541Z |
Lista 2/03 Exercício 3 Mostre que $B= \{\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^{\ast} \}$ NÃO é aberto e nem fechado em $\mathbb{Q}$ | Exercícios da lista | VEA | 4 | 2021-12-30 03:47:38.698Z |
Lista 2/04 - Exercício 1 Neste exercício vemos que o produto cartesiano comuta com a operação de fecho, mais precisamente: Sejam $(X,\tau)$ e $(Y,\eta)$ dois espaços topológicos e considere o produto cartesiano $X \times Y$ munido da topologia produto. Dados $A \subset X$ e ... | Exercícios da lista | REA | 8 | 2021-12-30 01:54:19.733Z |
Template para o trabalho final. Aqui está o template: https://github.com/andre-caldas/template_topologia Leia com atenção as instruções dentro dos arquivos! Quem for usar o GitHub, pode simplesmente "clonar" o meu repositório. Digitar na interface web do Overleaf é muito chato!!! :... | Trabalho final | ADM | 11 | 2021-12-29 22:07:50.272Z |
Demonstração - Lema de Urysohn Olá, Inicialmente enunciaremos uma caracterização para Espaço Topológico normal em termos de subconjuntos fechados e suas vizinhanças. Teorema 1: Um Espaço Topológico $(X, \tau)$ é normal se, e somente se, dado um subconjunto fechado $A$ e um aberto ... | Lema de Urysohn | M | 0 | 2021-12-28 23:05:24.969Z |
Limite uniforme de funções contínuas Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico qualquer. Suponha que $f_n$ é uma sequência de funções contínuas de $X$ em $\mathbb{R}$. E que $f_n \rightarrow f$ uniformemente. Mostre que $f$ é contínua. OBS 1: Isso é uma competição pra ver quem faz a demonst... | Desafio | AJDA | 5 | 2021-12-24 20:24:13.165Z |
Trabalho final Prezad@s, Cada estudante tem interesses diferentes. Ao invés de escolher um único tema e impor a todos, decidi por dar a cada um a oportunidade de escrever sobre um tema dentre várias opções. A ideia não é simplesmente escrever uma demonstração. O ob... | Trabalho final | ADJM2A | 66 | 2021-12-24 04:03:22.229Z |
Teorema de Tychonoff com ultrafiltros: sugestões Referências Sobre convergência de filtros, eu tenho um vídeo que pode "dar uma luz"... uma motivação. É o primeiro vídeo dessa lista: https://www.youtube.com/playlist?list=PLMG2ETzS-iy_DGR8bGJtx8Cpi-ijUOhmo Eu aprendi sobre filtros e redes no "Analys... | Trabalho final | A | 0 | 2021-12-23 12:24:56.211Z |
Aula 22/12/2021-Video- Compacidade sequencial Mostre que, dado $(X,d)$ um espaço métrico, se $X$ é sequencialmente compacto então $X$ é limitado. https://www.youtube.com/watch?v=0_1iuwa26XI | Dever de casa dos vídeos | DAD | 7 | 2021-12-22 21:30:25.818Z |
Lista 2/05 - Exercício 7 Seja $S \subset \mathbb{C}$ o círculo unitário. E seja $ S' = S \setminus {1} $. Considere $\Omega$, o espaço de todas as funções contínuas $f : S' \rightarrow S.$ Mostre que $ S'$ é homeomorfo a um subespaço de $S^{\Omega}$. Ou seja, mostre que exis... | Exercícios da lista | DRGA | 13 | 2021-12-22 13:14:31.784Z |
Um subgrupo de um grupo topológico Um grupo topológico é um grupo $G$ que é um espaço topológico e satisfaz o axioma $T_1$: Conjuntos finitos de pontos são fechados. Além disso as operações \begin{align*} \psi : & G \times G \to G\ & (x,y) \mapsto x \cdot y \end{align*} e \begin{align... | Dúvidas sobre exercícios | MAM | 4 | 2021-12-22 11:33:38.522Z |
Produto de espaços métricos é um espaço métrico? Já vimos em alguns exercícios (Lista 2/05- Exercício 5 e Lista 2/05 - Exercício 4) exemplos onde a topologia produto de um produto de espaços métricos era metrizável. O que havia em comum nesses dois exemplos é o fato de ser tomado um produto enumerá... | Desafio | RAT | 7 | 2021-12-22 09:39:37.314Z |
Lista 2/05 - Exercício 8 Este exercício mostra um exemplo de um sistema dinâmico definido na reta real (vista como subconjunto do círculo unitário) que não pode ser estendido continuamente a todo o círculo. Seja $S\subset \mathbb{C}$ o círculo unitário e $S'=S\setminus \{1\}... | Exercícios da lista | RMA | 4 | 2021-12-21 22:52:15.976Z |
Lista 2/05- Exercício 5 O verdadeiro cubo de Hilbert é da forma: $$\Omega = [0, 1] \times [0, 1/2] \times [0, 1/3] \times [0, 1/4] \times [0, 1/5] \times \dotsb$$ Mostre que a topologia produto no cubo de Hilbert é dada pela métrica do supremo. | Exercícios da lista | VRAT | 6 | 2021-12-21 15:13:53.358Z |
Sub-subsequência que converge No chat da vídeo-aula sobre Sequências de Cauchy e Completude dos Espaços Métricos, o professor comentou que " Dá para construir uma sequência que não converge, mas que toda subsequência tem uma sub-subsequência que converge. Ou seja, nenhuma subsequ... | Dúvidas sobre os vídeos | DRA | 6 | 2021-12-21 14:42:55.398Z |
Lista 2/05 - Exercício 6 (Série A) Vamos adaptar o cubo de Hilbert original, e construir o espaço $$\Omega = \prod_{n \in \mathbb{N}} [0,1/n^2] = [0,1] \times [0,1/2^2] \times [0,1/3^2] \times [0,1/4^2] \times [0,1/5^2] \times ... .$$ A topologia em $\Omega$ induzida pela métrica da s... | Série A | TA | 8 | 2021-12-21 04:25:11.901Z |
Arquivos que não devem ser editados. Prezad@s, Vejam as instruções nos arquivos do template. Existem arquivos que não devem ser editados. Isso, porque pode chegar um dia e eu resolver substituir esses arquivos por outros. Os arquivos trabalho_final_de_topologia_geral.tex e definitions.t... | Trabalho final | A | 0 | 2021-12-20 22:48:50.198Z |
Dúvida - GitHub Eu nunca utilizei o GitHub e por isso fiquei com uma dúvida. Nós iremos de alguma forma escrever o nosso texto diretamente no site, assim como se faz no Overleaf, ou iremos baixar o arquivo que está no GitHub e editar no computador? | Trabalho final | TMAT | 10 | 2021-12-20 17:56:36.675Z |
Demonstração - Lema de Urysohn Lema de Urysohn: Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico normal e sejam $A,B\subset X$ conjuntos fechados e disjuntos. Então existe uma função $f:X\rightarrow [0,1]$ contínua tal que $f\restriction_A\equiv 0$ e $f\restriction_B\equiv 1$. Demonstração: P... | Lema de Urysohn | A | 0 | 2021-12-20 14:58:31.728Z |
Fecho de um conjunto no espaço de sequências Não consigo resolver o seguinte problema: Considere $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ o espaço das sequências em $\mathbb{R}$. Denote por $\mathbb{R}^{\infty}$ o conjunto das sequências que são eventualmente nulas. Qual o fecho de $\mathbb{R}^{\infty}$ nas top... | Dúvidas sobre exercícios | MAM | 2 | 2021-12-20 14:53:03.344Z |
Demonstração do Lema de Urysohn $\textbf{Lema de Urysohn:}$ Seja $X$ um espaço normal. Se $F, G \subset X$ são dois fechados disjuntos, então existe uma função $f: X \rightarrow [0,1]$ contínua tal que $f \equiv 0$ em $F$ e $f \equiv 1$ em $G$. $\textbf{Demonstração:}$ Primeiro, le... | Lema de Urysohn | G | 0 | 2021-12-20 14:37:08.040Z |
Lista 2/04- Exercício 7 Dê um exemplo de uma função que seja descontínua, mas que tenha o gráfico fechado. | Exercícios da lista | VR | 1 | 2021-12-20 14:12:42.092Z |
Duvida - Oficialização do Tema Se o tema que escolhi como primeira opção não teve outros interessados, posso já oficializá-lo como meu e dar início ? | Trabalho final | RA | 1 | 2021-12-20 14:01:02.408Z |
Dúvidas Bom dia, professor. Na página Overleaf. quando eu estiver digitando o trabalho, preciso compartilhar com o senhor? E todas as dúvidas relacionadas a demonstração/execução do trabalho devem ser feitas nesse tópico que o senhor criou? | Trabalho final | VA | 5 | 2021-12-20 13:54:05.367Z |
[DUPLICADA]Lista 2/05 - Exercício 5 O verdadeiro cubo de Hilbert é da forma $$\Omega = [0,1] \times [0,1/2] \times [0,1/3] \times [0,1/4] \times [0,1/5] ... .$$ Mostre que a topologia produto no cubo de Hilbert é dada pela métrica do supremo. | Dúvidas sobre exercícios | TR | 1 | 2021-12-20 13:52:35.581Z |
Lema de Urysohn- demonstração Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico $T_4$. Sejam $F,G \subset X$ fechados disjuntos. Então existe uma função contínua $f: X \rightarrow [0,1]$ tal que, para todo $x \in F$, $f(x)=0$ e, para todo $y \in G$, $ f(y) = 1$. **Demonstração: ** Seja $\{ q... | Lema de Urysohn | DA | 4 | 2021-12-20 12:41:46.922Z |
Lista 2/02 - Exercício 2 Mostre que se um espaço topológico é $T_3$, então dados dois pontos distintos $a$ e $b$, existem vizinhanças fechadas de $a$ e $b$ que são disjuntas. | Exercícios da lista | G JRA | 7 | 2021-12-20 11:46:53.134Z |
Mergulho num espaço produto Li uma coisa interessante no livro do Munkres e resolvi um exercício relacionado que acredito ser de interesse. Seja $f:X \to Y$ uma função injetiva e contínua e denote por $Z$ o conjunto $f(X)$. Veremos $Z$ como um subespaço de $Y$ (consideramos a r... | Dúvidas sobre exercícios | MA | 3 | 2021-12-20 02:30:27.753Z |