Curso online de Topologia Geral do departamento de matemática da Universidade de Brasília, ministrado pelo professor André Caldas (@andrecaldas).
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http://andrec.mat.unb.br/ensino/topologia_online/
| Tópicos, mais recentemente ativo primeiro | Categoria | Usuários | Respostas | Atividade |
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Lista 1/03 Exercício 5 Sejam $X$ e $Y$ espaços topológicos. Mostre que se $f : X \rightarrow Y$ é contínua, então, para $x_{n} \in X$, $$x_{n} \rightarrow a \Rightarrow f(x_{n}) \rightarrow f(a)$$. | Exercícios da lista | VAR | 3 | 2021-12-06 14:23:31.590Z |
Lista 1/03 - Exercício 5 Sejam $X$ e $Y$ espaços topológicos. Mostre que se $f: X \rightarrow Y$ é contínua, então, para $x_n \in X$, $$ x_n \to a \implies f(x_n) \to f(a). $$ | Resolução Completa |  RA | 2 | 2021-12-06 14:08:56.075Z |
Métrica induzida e vizinhanças No vídeo extra da aula 2, o professor fala em métrica induzida. Se $X$ é um espaço métrico e $Y\subseteq X$, que tipos de vizinhanças tem os pontos de $Y$ (com a a métrica induzida de $X$)? Eu estava com problemas para chegar a uma intuição correta s... | Ideas | MA | 3 | 2021-12-06 04:01:53.168Z |
Sabendo quem são as séries convergentes e pra onde convergem Em um espaço métrico $X$. Dado um ponto $a$, descreva a família $\mathcal{V}(a)$ SEM USAR A MÉTRICA! Ao invés disso, utilize as sequências que convergem para $a$. Utilize a métrica apenas para demonstrar que de fato, a família que você construiu é fo... | Desafio | ATRJ | 18 | 2021-12-05 20:46:51.552Z |
Espaço normado: continuidade em qualquer ponto Série B Considere os espaços normados $(V, \|\cdot\|_1)$ e $(W, \|\cdot\|_2)$. Seja $$ T: V \rightarrow W $$ uma transformação linear que é contínua (nas topologias das normas) em um determinado ponto $\vec{p} \in V$. Mostre que $T$ é contínua em tod... | Série B | ARJ | 13 | 2021-12-05 00:24:10.276Z |
Espaços métricos: unicidade dos limites Série B Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Suponha que $x_n \in X$ é tal que $$ x_n \rightarrow a\quad\text{e}\quad x_n \rightarrow b. $$ Ou seja, $x_n$ converge tanto pra $a$ quanto para $b$, então $a = b$. | Série B | AJD | 3 | 2021-12-04 22:57:00.153Z |
Definição 3.7. Na definição 3.7 (base de vizinhanças) no final está escrito "com $B \subset Y$". Não deveria ser "com $B \subset V$"? | Notas de Aula | R | 2 | 2021-12-04 20:48:26.443Z |
Que tal se apresentar? Quem quiser, pode usar essa página pra se apresentar. Lembre-se que esse fórum está aberto ao público em geral. | General | AADJL | 53 | 2021-12-04 18:30:34.875Z |
Um desafio muuuuito simples. OBS: Não sei porque vocês estão tão preocupados com "a menor distância". Vocês estão com pressa??? Com preguiça de caminhar??? Custa caro??? :-P Explique de maneira muito simples, muito intuitiva... como se estivesse explicando pra alguém que é intel... | Desafio | AADJA | 21 | 2021-12-04 03:29:40.588Z |
Transformação linear contínua Série B Considere as normas do máximo $\|\cdot\|_\infty$ em $\mathbb{R}^p$ e $\mathbb{R}^q$. Mostre que toda transformação linear $$ T: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^q, $$ nas topologias das normas do máximo, é contínua em $\vec{0}$. | Série B | ADS | 6 | 2021-12-03 23:04:17.514Z |
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Transformação linear limitada Série B Sejam $(V, \|\cdot\|_1)$ e $(W, \|\cdot\|_2)$ espaços normados. Dizemos que um conjunto $A \subset V$ (ou $\subset W$) é limitado quando existir $B \in \mathcal{B}(\vec{0})$, tal que $A \subset B$. Dada uma transformação linear $$ T: V \right... | Série B | ADS | 5 | 2021-12-03 23:01:48.823Z |
Bola fechada e fecho da bola. Dê um exemplo de uma métrica em $\mathbb{R}$, onde $$ \overline{B}_5(\pi) \neq \overline{B_5(\pi)}. $$ | Resolução Completa | AD AA | 33 | 2021-12-03 21:08:30.482Z |
Métricas equivalentes Série B Considere três normas em $\mathbb{R}^n$: $\|\vec{v}\|_\infty = \max(|v_1|, \dotsc, |v_n|)$ $\|\vec{v}\|_\sigma = |v_1| + \dotsb + |v_n|$ $\|\vec{v}\| = \sqrt{|v_1|^2 + \dotsb + |v_n|^2}$. Mostre que os sistemas de vizinhanças do $\vec{0}$ ger... | Série B | ADA | 2 | 2021-12-03 21:03:26.688Z |
Equivalência de normas: continuidade Série A Atenção: utilize o resultado de outros exercícios da Série A. Tem um teorema que diz que, em $\mathbb{R}^n$, todas as normas são equivalentes. Utilizando esse resultado, mostre que toda transformação linear $$ T: \mathbb{R}^p \rightarrow \mat... | Série A | ACRAA | 24 | 2021-12-03 16:51:19.074Z |
Como usar símbolos matemáticos com $\LaTeX$. Alguns exemplos de como usar $\LaTeX$ aqui no fórum. | General | S | 0 | 2021-12-03 16:25:39.110Z |
Equivalência de normas: seminormas Série A Atenção: utilize o resultado de outros exercícios da Série A. Tem um teorema que diz que, em $\mathbb{R}^n$, todas as normas são equivalentes. Utilizando esse resultado, mostre que se $|\cdot|$ é uma seminorma em $\mathbb{R}^n$ e $\|\cdot\|$ ... | Série A | ATRA | 12 | 2021-12-03 14:37:51.474Z |
Será que é fechado? Dado $(X,\tau)$ um espaço topológico, definimos os abertos da topologia induzida em um subespaço $X'$ como sendo a interseção dos elementos de $\tau$ com $X'$. Considere o seguinte subconjunto da reta real: $$Y= [2,4] \cup (5,6).$$ Será que $(5,6)$ é... | Dúvidas sobre exercícios | MAVA | 7 | 2021-12-03 13:28:08.333Z |
Bola aberta é aberta Série B Mostre que, em um espaço métrico, a bola aberta é aberta. Atenção: Se você for responder, dê o seu melhor! Uma resposta completa, detalhada, com parágrafos... com estética. :-) | Série B | A | 3 | 2021-12-03 13:27:55.460Z |
Espaços normados: condição que implica normas equivalentes Série A Atenção: utilize o resultado de outros exercícios da Série A. Tem um teorema que diz que, independente das normas em $\mathbb{R}^p$ e $\mathbb{R}^q$, todas as transformações lineares $$ T: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^q $$ são contínua... | Série A | AR | 3 | 2021-12-03 13:17:13.943Z |
Dúvida - Aula 2 - vídeo extra Oi pessoal, No vídeo extra de ontem sobre métrica induzida e métrica produto, o professor explicou sobre $A^X$, conjunto das funções de $X$ em $A$. Ele disse algo nesse sentido "uma função é um produto gigantesco" (a partir 12:00), alguém pode explic... | Dúvidas | MA | 3 | 2021-12-03 13:08:52.718Z |
Espaço métrico é "Hausdorff" Série B Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Mostre que se $a,b \in X$ são pontos distintos, então existem $$ V \in \mathcal{V}(a) \quad\text{e}\quad W \in \mathcal{V}(b) $$ tais que $V \cap W = \emptyset$. Em português: existem vizinhanças de $a$ e $b$ q... | Série B | AJMA | 6 | 2021-12-03 13:06:58.812Z |
Seminormas Série A Seja $V$ um espaço vetorial. Mostre que a soma de duas seminormas em $V$ é uma seminorma. E que se ao menos uma delas for uma norma, então a soma é uma norma. | Série A | ATRA | 4 | 2021-12-03 12:51:42.840Z |
Espaço métrico: conjunto unitário é fechado Série B Seja $(X,d)$ um espaço métrico, e $a \in X$ um elemento de $X$. Mostre que o conjunto $\{a\}$ é fechado. Utilize a seguinte definição de fechado: Um conjunto $F$ é fechado $\Leftrightarrow$ $F = \overline{F}$. E a seguinte definição de fecho:... | Série B | AA | 4 | 2021-12-03 12:04:31.965Z |
Uma norma induz uma métrica. Série B Seja $V = \mathbb{R}^n$, e $\|\cdot\|$ uma norma em $V$. Mostre que $d(x,y) = \|y - x\|$ é uma métrica. | Série B | AA | 3 | 2021-12-03 12:00:22.834Z |
Interseção de fechados. Utilizando a operação de fecho $$ \overline{D} = \{x \in X :\, \forall V \in \mathcal{V}(a),\, V \cap D \neq \emptyset \}, $$ e a definição de fechado $$ \text{$F$ é fechado} \Leftrightarrow F = \overline{F}, $$ mostre que a interseção de fechados é ... | Resolução Completa | AABV | 11 | 2021-12-03 11:17:15.341Z |
Função indicadora continua $\textbf{Exercício 11.}$ Seja $A \subset \mathbb{R}$, onde $\mathbb{R}$ é munido da métrica induzida pelo valor absoluto: \begin{align*} d: \mathbb{R} \times \mathbb{R} & \to \mathbb{R} \\ (x,y) & \mapsto |y-x| \end{align*} Quando a função indicadora... | Questions | DRJA | 5 | 2021-12-03 11:01:16.864Z |
Lista 1/02- Exercício 5 No exercício 5 não consegui perceber nenhum problema na continuidade da função $f$ mesmo quando $X,Y$ são pseudo-métricos. Pois, dado $\delta>0$ temos, $d(x,b)<\delta\Rightarrow d(f(x),f(b))=d(a,a)=0<\epsilon,\forall\epsilon>0$. Então o fato de event... | Dúvidas sobre exercícios | JA | 5 | 2021-12-03 01:04:21.594Z |
Exercício 2 - Lista 1 / 02 Olá, pessoal. Fiquei com uma dúvida nesse exercício. Tomando uma sequência de racionais convergindo para $\sqrt{2}$ a sequência das imagens será constante igual a $0$, logo não converge para $f(\sqrt{2})=\sqrt{2}$. Assim $f$ não pode ser contínua, ma... | Questions | AJ2A | 4 | 2021-12-02 19:15:12.080Z |
O interior é vizinhança Em um espaço métrico, temos o seguinte: $$ \mathring{D} = \{ x \in X : \exists B \in \mathcal{B}(x),\, B \subset D \}. $$ Em outras palavras, $$ \mathring{D} = \{ x \in X : D \in \mathcal{V}(x) \}. $$ Mostre que $$ D \in \mathcal{V}(a) \Leftrightarro... | Resolução Completa | A | 3 | 2021-12-02 19:07:24.508Z |
Lista 1/01 - 01/12 Tópico para discutirmos os exercícios da lista de hoje 01/12/21 | General | RJR2MT | 31 | 2021-12-02 11:12:53.316Z |