Topologia Geral - professor André Caldas

Curso online de Topologia Geral do departamento de matemática da Universidade de Brasília, ministrado pelo professor André Caldas (@andrecaldas).

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http://andrec.mat.unb.br/ensino/topologia_online/

Tópicos, mais recentemente ativo primeiro	Categoria	Usuários	Respostas	Atividade
Como usar símbolos matemáticos com $L A T E X$ . Alguns exemplos de como usar $L A T E X$ aqui no fórum.	General	S	0	2021-12-03 16:25:39.110Z
Prova 1 – Verão/2020 - Questão 7 Seja $G$ um grupo topológico e $H < G$ . Mostre que se $\overset{˚}{H} \neq \emptyset$ então $H$ é aberto e fechado. Dem: Suponha que $x \in \overset{˚}{H}$ e seja $y \in H$ qualquer e note que, \begin{equation*} yx^{-1}\mathring{H}=E_{yx^{-1}}(\mathring{H}):=...	Resolução Completa	J A	3	2022-01-12 21:40:43.435Z
Compactificação de um sistema dinâmico Compactificação por um ponto Espero que você explique a compactificação por um ponto dos espaços de Hausdorff localmente compactos. Mergulho Depois é definir $$\begin{align} \iota: X &\rightarrow (X^)^{\mathbb{N}} \ x &\mapsto (T^n x)_{n \in \math...	Trabalho final	A E	8	2022-01-11 17:14:00.660Z
Atração de compacto: sugestões Eu acho que não mencionei no post do trabalho final, mas acho que o espaço $X$ tem que ser Hausdorff. Convergência no infinito Dizer que $T (x, t) \overset{t \to \infty}{\to} a$ para todo $x$ , é o mesmo que dizer que $T$ o sistema dinâmico $T$ p...	Trabalho final	A A	8	2022-01-11 11:37:32.297Z
Turma do fundão... Aqui é um canal pra conversar, principalmente, durante a aula! :-) Pra fazer perguntas bem formuladas e obter uma resposta bem escrita, utilize o fórum.	General	A T D R R2	127	2022-01-10 21:24:04.973Z
Lista 2/02- Exercício 5 Seja $(X, d)$ um espaço métrico. Dado um fechado $F ⊊ X$ , mostre que a função $\begin{array}{rrcl} d_{F} : & X & \to & R \\ x & \mapsto & inf d (x, F) \end{array}$ é contínua. Tome $a \in X F$ , utilize $d_{F}$ para construir u...	Exercícios da lista	D J A R2	4	2022-01-10 08:31:03.221Z
Projeção fechada. No espaço produto, $X \times Y$ , sabemos que a projeção (por exemplo) na primeira coordenada $\begin{aligned} π_{1} : X \times Y & \to X \\ (x, y) & \mapsto x \end{aligned}$ NEM SEMPRE é fechada. Mostre que quando $Y$ é compacto, então $π_{1}$ é fech...	Desafio	A T A	4	2022-01-09 02:03:05.572Z
Desafio: gráfico fechado... continuidade... compacidade. Suponha que $Y$ seja um espaço compacto. Mostre que (utilize outros exercícios), se $f : X \to Y$ tem o gráfico fechado, então é contínua. Mais ainda... se $Y$ for Hausdorff, então o gráfico de $f$ é fechado se, e somente se, $f$ é contínua!	Desafio	A G A	2	2022-01-08 20:34:18.478Z
Uma isometria num espaço métrico compacto Se $(X, d)$ é um espaço métrico, uma função $f : X \to X$ que satisfaz $d (x, y) = d (f (x), f (y)) \forall x, y \in X$ é chamada de isometria. Para mostrar a injetividade, basta ver que $$x \neq y \implies 0 \neq d(x,y) = d(f(x),f(y)) \implies f...	Dúvidas sobre exercícios	M D A	6	2022-01-08 19:30:43.097Z
Lista 2/04 Exercício 10 Suponha que $X$ e $Y$ sejam tais que a projeção $π_{1} : X \times Y \to X$ é fechada. Mostre que se $f : X \to Y$ tem o gráfico fechado, então $f$ é contínua.	Exercícios da lista	E A M	13	2022-01-08 18:12:33.741Z
Explicar ícones...
Lista 2/04 Exercício 5 Dada uma função contínua $f : X \to Y$ . Mostre que se $Y$ é de Hausdorff, então o gráfico de $f$ é fechado em $X \times Y$ . Lembrando: o gráfico de uma aplicação contínua $f$ é $G (f) = {(x, f (x)) \in X \times Y ∣ x \in X}$ .	Exercícios da lista	J2 E M A	9	2022-01-08 18:08:33.236Z
Demonstração relâmpago: compacidade local. Suponha que $X$ seja regular (não necessariamente Hausdorff), e que todo $x \in X$ tem uma vizinhança compacta $K_{x}$ . Então, $X$ é localmente compacto. O desafio é fazer a demonstração mais curta que você conseguir!	Desafio	A R2 A	3	2022-01-08 13:10:47.976Z
Demonstração relâmpago: compacidade de $[a, b]$ . O teorema de sub-base de Alexander diz que um espaço topológico $X$ com uma sub-base $C$ é compacto quando toda cobertura $A \subset C$ possuir subcobertura finita. Sabemos que os conjuntos da forma $(- \infty, x)$ e $(y,...	Desafio	A J A	2	2022-01-08 03:52:43.927Z
Demonstração - Lema de Urysohn Lema de Urysohn: Sejam $(X, τ)$ um espaço topológico normal e $A, B \subset X$ fechados disjuntos. Então existe uma função $f : X \to [0, 1]$ contínua tal que $f \|_{A} \equiv 0$ e $f \|_{B} \equiv 1$ . Antes de demonstrarmos o lema vamos prova...	Lema de Urysohn	E A	1	2022-01-08 02:02:55.823Z
Prova 1 - Verão/2020 - Questão 3 Seja $X$ um conjunto e $τ$ uma família de subconjuntos de $X$ formada pelos abertos de uma topologia em $X$ . Para cada $x \in X$ , podemos construir a família $α (x) = {V \subset X \| \exists A \in τ, x \in A \subset V} .$ Podemos ...	Resolução Completa	A	1	2022-01-06 22:29:57.353Z
Prova 1 - Verão/2020 - Questão 3 Seja $X$ um conjunto e $τ$ uma família de subconjuntos de $X$ formada pelos abertos de uma topologia em $X$ . Para cada $x \in X$ , podemos construir a família $α (x) = {V \subset X \| \exists A \in τ, x \in A \subset V} .$ Podemos ...	Resolução Completa		0	2022-01-06 21:27:14.903Z
Axiomas de separação Este aqui é apenas um comentário sobre algo em que venho pensando. No livro do Munkres, espaços regulares e normais são definidos como sendo obrigatoriamente $T_{1}$ . Porém, isso implica que todo espaço normal é regular e todo espaço regular é Hausdorf...	Ideas	M A M	3	2022-01-06 20:42:29.199Z
Prova 2 - 2020 - Questão 5 $Exercício:$ Considere a função contínua e injetiva $\begin{aligned} f : {0, 2}^{N^{*}} & \to [0, 1] \\ x & \mapsto \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x_{n}}{3^{n}} . \end{aligned}$ A imagem de $f$ é o conjunto de cantor $C \subset [0, 1]$ ,...	Resolução Completa	G A	4	2022-01-06 17:42:59.821Z
Prova 1 - Verão/2020 - Questão 6.2 Essa questão pede para mostrar que se $f, g : X \to Y$ são contínuas e $Y$ é Hausdorff, então $B = {x \in X \| f (x) = g (x)}$ é fechado. Eu tentei mostrar que se $x \notin B$ , então $x \notin \overset{―}{B}$ , mas não sei se concluí certo. Segue...	Resolução Completa	A	9	2022-01-06 14:45:00.040Z
Prova 1 - Verão/2020 - Questão 6.1 A questão pede para mostrar que dado um espaço topológico $X$ , o conjunto $Δ = {(x, x) \| x \in X} \subseteq X \times X$ é fechado na topologia produto se, e somente se, $X$ é Hausdorff. Pensei no seguinte argumento para demonstrar: se ...	Resolução Completa	J A	6	2022-01-06 14:29:15.609Z
Formalização do Teorema da Subbase de Alexander Vamos demonstrar o Teorema da subbase de Alexander (visto na aula de ontem no vídeo Compacidade na Topologia Produto): Seja $X$ um espaço topológico e $C$ uma subbase para a topologia em $X$ . Se toda cobertura aberta $\mathscr{A} \subseteq ...	Dever de casa dos vídeos	M R2 A M	7	2022-01-06 13:09:10.368Z
Prova 2 - 2020 - Questão 2 Exercício: Seja $X$ um espaço de Hausdorff e $K \subset X$ um compacto. Mostre que $K$ é fechado. Resolução: Basta mostrar que $X ∖ K$ é aberto. Seja $x \in X ∖ K$ arbitrário. Para cada $y \in K$ , devido a $X$ ser Hausdorff, existem v...	Resolução Completa	R2 D A	8	2022-01-05 15:49:08.822Z
Preparação para a primeira etapa. Prezad@s, Daqui a algumas horas, 00:00 do dia 05/01/2022, vou baixar e compilar o trabalho de vocês no meu computador, usando esses comandos: $x e l a t e x t r a b a l h o_{f} i n a l_{d} e_{t} o p o l o g i a_{g} e r a l$ bibtex trabalho_final_de_topologia_geral $ xelatex traba...	Trabalho final	A T R2 A	4	2022-01-05 11:34:42.418Z
Prova 1 – Verão/2020- Questão 1 Seja $X$ um conjunto munido de uma topologia dada por uma família de abertos $τ$ . Com os elementos de $τ$ , para cada $x \in X$ , podemos construir a família: \begin{equation*} \alpha(x) = \{V \subset X \mid \exists A \in \tau, x \in A \subset V...	Resolução Completa	V J A	13	2022-01-04 22:22:15.938Z
Um linhão... Qual é a diferença entre essas duas linhas? se você escrever um linhão enorme... se você escrever um linhão enorme... se você escrever um linhão enorme... se você escrever um linhão enorme... se você escrever um linhão enorme... se você escrever um l...	Trabalho final	A	0	2022-01-03 16:27:54.633Z
Lista 2/04 - Exercício 8 Mostre que a projeção $π_{1} : X \times Y \to X$ é aberta.	Exercícios da lista	E A	6	2022-01-02 15:45:44.830Z
Lista 2/01 Exercício 5.7.a) Para cada um dos casos abaixo, mostre que $(X, τ)$ é uma topologia. Compactificação por um Ponto dos Reais. Seja $X = R \cup {★}$ . Denote a topologia usual dos reais por $γ$ . a)$\tau=\gamma \cup \left\{\{\bigstar\} \cup F^{\comp...	Exercícios da lista	E M E	2	2022-01-02 13:27:55.361Z
Etapas do trabalho final Prezad@s, O trabalho final deverá ser apresentado em etapas. Em cada etapa, vou ler o que você fez e fazer comentários e sugestões. Se você já estiver mais adiantado com o trabalho, é claro que você não precisa desfazer o que está feito. Apenas se ce...	Trabalho final	A	0	2022-01-01 22:13:29.167Z
Quociente de grupo topológico Na primeira aula depois do recesso, vou fazer quase tudo! :-) $T_{0}$ É importante saber que em grupos topológicos, $T_{0} \Rightarrow T_{2} .$ $T_{1}$ É importante saber que $T_{1}$ é o mesmo que: Todo conjunto unitário é fechado.	Trabalho final	A	0	2021-12-31 12:10:47.178Z
Compacto + Hausdorff $\Rightarrow$ $T_{4}$ : sugestões Regularidade Regularidade normalmente é definida em termos de vizinhanças disjuntas que separam fechados e pontos. Mas também pode ser expressa dizendo que a família $F (x)$ de vizinhanças fechadas de $x$ é uma base de vizinhanças para qualq...	Trabalho final	A	0	2021-12-31 11:56:42.743Z
Lista 2/01 - Exercício 5.8 Seja $X = C \cup {★}$ o conjunto dos complexos estendidos. Denote a topologia usual dos complexos por por $γ$ . Considerando $τ = γ \cup {{★} \cup F^{c} \| F^{c} \in γ, F é l i m i t a d o},$ mo...	Exercícios da lista	M2 A E	8	2021-12-30 22:59:06.541Z
Lista 2/03 Exercício 3 Mostre que $B = {\frac{1}{n} ∣ n \in N^{*}}$ NÃO é aberto e nem fechado em $Q$	Exercícios da lista	V E A	4	2021-12-30 03:47:38.698Z
Lista 2/04 - Exercício 1 Neste exercício vemos que o produto cartesiano comuta com a operação de fecho, mais precisamente: Sejam $(X, τ)$ e $(Y, η)$ dois espaços topológicos e considere o produto cartesiano $X \times Y$ munido da topologia produto. Dados $A \subset X$ e ...	Exercícios da lista	R2 E A	8	2021-12-30 01:54:19.733Z
Template para o trabalho final. Aqui está o template: https://github.com/andre-caldas/template_topologia Leia com atenção as instruções dentro dos arquivos! Quem for usar o GitHub, pode simplesmente "clonar" o meu repositório. Digitar na interface web do Overleaf é muito chato!!! :...	Trabalho final	A D M	11	2021-12-29 22:07:50.272Z
Demonstração - Lema de Urysohn Olá, Inicialmente enunciaremos uma caracterização para Espaço Topológico normal em termos de subconjuntos fechados e suas vizinhanças. Teorema 1: Um Espaço Topológico $(X, τ)$ é normal se, e somente se, dado um subconjunto fechado $A$ e um aberto ...	Lema de Urysohn	M	0	2021-12-28 23:05:24.969Z
Limite uniforme de funções contínuas Seja $(X, τ)$ um espaço topológico qualquer. Suponha que $f_{n}$ é uma sequência de funções contínuas de $X$ em $R$ . E que $f_{n} \to f$ uniformemente. Mostre que $f$ é contínua. OBS 1: Isso é uma competição pra ver quem faz a demonst...	Desafio	A J D A	5	2021-12-24 20:24:13.165Z
Trabalho final Prezad@s, Cada estudante tem interesses diferentes. Ao invés de escolher um único tema e impor a todos, decidi por dar a cada um a oportunidade de escrever sobre um tema dentre várias opções. A ideia não é simplesmente escrever uma demonstração. O ob...	Trabalho final	A D J M2 A	66	2021-12-24 04:03:22.229Z
Teorema de Tychonoff com ultrafiltros: sugestões Referências Sobre convergência de filtros, eu tenho um vídeo que pode "dar uma luz"... uma motivação. É o primeiro vídeo dessa lista: https://www.youtube.com/playlist?list=PLMG2ETzS-iy_DGR8bGJtx8Cpi-ijUOhmo Eu aprendi sobre filtros e redes no "Analys...	Trabalho final	A	0	2021-12-23 12:24:56.211Z
Aula 22/12/2021-Video- Compacidade sequencial Mostre que, dado $(X, d)$ um espaço métrico, se $X$ é sequencialmente compacto então $X$ é limitado. https://www.youtube.com/watch?v=0_1iuwa26XI	Dever de casa dos vídeos	D A D	7	2021-12-22 21:30:25.818Z
Lista 2/05 - Exercício 7 Seja $S \subset C$ o círculo unitário. E seja $S^{'} = S ∖ 1$ . Considere $Ω$ , o espaço de todas as funções contínuas $f : S^{'} \to S .$ Mostre que $S^{'}$ é homeomorfo a um subespaço de $S^{Ω}$ . Ou seja, mostre que exis...	Exercícios da lista	D R2 G A	13	2021-12-22 13:14:31.784Z
Um subgrupo de um grupo topológico Um grupo topológico é um grupo $G$ que é um espaço topológico e satisfaz o axioma $T_{1}$ : Conjuntos finitos de pontos são fechados. Além disso as operações $\begin{aligned} ψ : & G \times G \to G & (x, y) \mapsto x \cdot y \end{aligned}$ e \begin{align...	Dúvidas sobre exercícios	M A M	4	2021-12-22 11:33:38.522Z

Tópicos, mais recentemente ativo primeiro

Categoria

Usuários

Respostas

Atividade

Como usar símbolos matemáticos com

L A T E X

Alguns exemplos de como usar

L A T E X

aqui no fórum.

General

2021-12-03 16:25:39.110Z

Prova 1 – Verão/2020 - Questão 7

Seja

G

um grupo topológico e

H < G

. Mostre que se

\overset{˚}{H} \neq \emptyset

então

H

é aberto e fechado. Dem: Suponha que

x \in \overset{˚}{H}

e seja

y \in H

qualquer e note que, \begin{equation*} yx^{-1}\mathring{H}=E_{yx^{-1}}(\mathring{H}):=...

Resolução Completa

2022-01-12 21:40:43.435Z

Compactificação de um sistema dinâmico

Compactificação por um ponto Espero que você explique a compactificação por um ponto dos espaços de Hausdorff localmente compactos. Mergulho Depois é definir $$\begin{align*} \iota: X &\rightarrow (X^*)^{\mathbb{N}} \ x &\mapsto (T^n x)_{n \in \math...

Trabalho final

A E

2022-01-11 17:14:00.660Z

Atração de compacto: sugestões

Eu acho que não mencionei no post do trabalho final, mas acho que o espaço

X

tem que ser Hausdorff. Convergência no infinito Dizer que

T (x, t) \overset{t \to \infty}{\to} a

para todo

x

, é o mesmo que dizer que

T

o sistema dinâmico

T

p...

Trabalho final

A A

2022-01-11 11:37:32.297Z

Turma do fundão...

Aqui é um canal pra conversar, principalmente, durante a aula! :-) Pra fazer perguntas bem formuladas e obter uma resposta bem escrita, utilize o fórum.

General

A T D R R2

127

2022-01-10 21:24:04.973Z

Lista 2/02- Exercício 5

Seja

(X, d)

um espaço métrico. Dado um fechado

F ⊊ X

, mostre que a função

\begin{array}{rrcl} d_{F} : & X & \to & R \\ x & \mapsto & inf d (x, F) \end{array}

é contínua. Tome

a \in X F

, utilize

d_{F}

para construir u...

Exercícios da lista

D J A R2

2022-01-10 08:31:03.221Z

Projeção fechada.

No espaço produto,

X \times Y

, sabemos que a projeção (por exemplo) na primeira coordenada

\begin{aligned} π_{1} : X \times Y & \to X \\ (x, y) & \mapsto x \end{aligned}

NEM SEMPRE é fechada. Mostre que quando

Y

é compacto, então

π_{1}

é fech...

Desafio

A T A

2022-01-09 02:03:05.572Z

Desafio: gráfico fechado... continuidade... compacidade.

Suponha que

Y

seja um espaço compacto. Mostre que (utilize outros exercícios), se

f : X \to Y

tem o gráfico fechado, então é contínua. Mais ainda... se

Y

for Hausdorff, então o gráfico de

f

é fechado se, e somente se,

f

é contínua!

Desafio

A G A

2022-01-08 20:34:18.478Z

Uma isometria num espaço métrico compacto

(X, d)

é um espaço métrico, uma função

f : X \to X

que satisfaz

d (x, y) = d (f (x), f (y)) \forall x, y \in X

é chamada de isometria. Para mostrar a injetividade, basta ver que $$x \neq y \implies 0 \neq d(x,y) = d(f(x),f(y)) \implies f...

Dúvidas sobre exercícios

M D A

2022-01-08 19:30:43.097Z

Lista 2/04 Exercício 10

Suponha que

X

Y

sejam tais que a projeção

π_{1} : X \times Y \to X

é fechada. Mostre que se

f : X \to Y

tem o gráfico fechado, então

f

é contínua.

Exercícios da lista

E A M

2022-01-08 18:12:33.741Z

Explicar ícones...

Lista 2/04 Exercício 5

Dada uma função contínua

f : X \to Y

. Mostre que se

Y

é de Hausdorff, então o gráfico de

f

é fechado em

X \times Y

. Lembrando: o gráfico de uma aplicação contínua

f

G (f) = {(x, f (x)) \in X \times Y ∣ x \in X}

Exercícios da lista

J2 E M A

2022-01-08 18:08:33.236Z

Demonstração relâmpago: compacidade local.

Suponha que

X

seja regular (não necessariamente Hausdorff), e que todo

x \in X

tem uma vizinhança compacta

K_{x}

. Então,

X

é localmente compacto. O desafio é fazer a demonstração mais curta que você conseguir!

Desafio

A R2 A

2022-01-08 13:10:47.976Z

Demonstração relâmpago: compacidade de

[a, b]

O teorema de sub-base de Alexander diz que um espaço topológico

X

com uma sub-base

C

é compacto quando toda cobertura

A \subset C

possuir subcobertura finita. Sabemos que os conjuntos da forma

(- \infty, x)

e $(y,...

Desafio

A J A

2022-01-08 03:52:43.927Z

Demonstração - Lema de Urysohn

Lema de Urysohn: Sejam

(X, τ)

um espaço topológico normal e

A, B \subset X

fechados disjuntos. Então existe uma função

f : X \to [0, 1]

contínua tal que

f |_{A} \equiv 0

f |_{B} \equiv 1

. Antes de demonstrarmos o lema vamos prova...

Lema de Urysohn

E A

2022-01-08 02:02:55.823Z

Prova 1 - Verão/2020 - Questão 3

Seja

X

um conjunto e

τ

uma família de subconjuntos de

X

formada pelos abertos de uma topologia em

X

. Para cada

x \in X

, podemos construir a família

α (x) = {V \subset X | \exists A \in τ, x \in A \subset V} .

Podemos ...

Resolução Completa

2022-01-06 22:29:57.353Z

Prova 1 - Verão/2020 - Questão 3

Seja

X

um conjunto e

τ

uma família de subconjuntos de

X

formada pelos abertos de uma topologia em

X

. Para cada

x \in X

, podemos construir a família

α (x) = {V \subset X | \exists A \in τ, x \in A \subset V} .

Podemos ...

Resolução Completa

2022-01-06 21:27:14.903Z

Axiomas de separação

Este aqui é apenas um comentário sobre algo em que venho pensando. No livro do Munkres, espaços regulares e normais são definidos como sendo obrigatoriamente

T_{1}

. Porém, isso implica que todo espaço normal é regular e todo espaço regular é Hausdorf...

Ideas

M A M

2022-01-06 20:42:29.199Z

Prova 2 - 2020 - Questão 5

Exercício:

Considere a função contínua e injetiva

\begin{aligned} f : {0, 2}^{N^{*}} & \to [0, 1] \\ x & \mapsto \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x_{n}}{3^{n}} . \end{aligned}

A imagem de

f

é o conjunto de cantor

C \subset [0, 1]

,...

Resolução Completa

G A

2022-01-06 17:42:59.821Z

Prova 1 - Verão/2020 - Questão 6.2

Essa questão pede para mostrar que se

f, g : X \to Y

são contínuas e

Y

é Hausdorff, então

B = {x \in X | f (x) = g (x)}

é fechado. Eu tentei mostrar que se

x \notin B

, então

x \notin \overset{―}{B}

, mas não sei se concluí certo. Segue...

Resolução Completa

2022-01-06 14:45:00.040Z

Prova 1 - Verão/2020 - Questão 6.1

A questão pede para mostrar que dado um espaço topológico

X

, o conjunto

Δ = {(x, x) | x \in X} \subseteq X \times X

é fechado na topologia produto se, e somente se,

X

é Hausdorff. Pensei no seguinte argumento para demonstrar: se ...

Resolução Completa

J A

2022-01-06 14:29:15.609Z

Formalização do Teorema da Subbase de Alexander

Vamos demonstrar o Teorema da subbase de Alexander (visto na aula de ontem no vídeo Compacidade na Topologia Produto): Seja

X

um espaço topológico e

C

uma subbase para a topologia em

X

. Se toda cobertura aberta $\mathscr{A} \subseteq ...

Dever de casa dos vídeos

M R2 A M

2022-01-06 13:09:10.368Z

Prova 2 - 2020 - Questão 2

Exercício: Seja

X

um espaço de Hausdorff e

K \subset X

um compacto. Mostre que

K

é fechado. Resolução: Basta mostrar que

X ∖ K

é aberto. Seja

x \in X ∖ K

arbitrário. Para cada

y \in K

, devido a

X

ser Hausdorff, existem v...

Resolução Completa

R2 D A

2022-01-05 15:49:08.822Z

Preparação para a primeira etapa.

Prezad@s, Daqui a algumas horas, 00:00 do dia 05/01/2022, vou baixar e compilar o trabalho de vocês no meu computador, usando esses comandos:

x e l a t e x t r a b a l h o_{f} i n a l_{d} e_{t} o p o l o g i a_{g} e r a l

bibtex trabalho_final_de_topologia_geral $ xelatex traba...

Trabalho final

A T R2 A

2022-01-05 11:34:42.418Z

Prova 1 – Verão/2020- Questão 1

Seja

X

um conjunto munido de uma topologia dada por uma família de abertos

τ

. Com os elementos de

τ

, para cada

x \in X

, podemos construir a família: \begin{equation*} \alpha(x) = \{V \subset X \mid \exists A \in \tau, x \in A \subset V...

Resolução Completa

V J A

2022-01-04 22:22:15.938Z

Um linhão...

Qual é a diferença entre essas duas linhas? se você escrever um linhão enorme... se você escrever um linhão enorme... se você escrever um linhão enorme... se você escrever um linhão enorme... se você escrever um linhão enorme... se você escrever um l...

Trabalho final

2022-01-03 16:27:54.633Z

Lista 2/04 - Exercício 8

Mostre que a projeção

π_{1} : X \times Y \to X

é aberta.

Exercícios da lista

E A

2022-01-02 15:45:44.830Z

Lista 2/01 Exercício 5.7.a)

Para cada um dos casos abaixo, mostre que

(X, τ)

é uma topologia. Compactificação por um Ponto dos Reais. Seja

X = R \cup {★}

. Denote a topologia usual dos reais por

γ

. a)$\tau=\gamma \cup \left\{\{\bigstar\} \cup F^{\comp...

Exercícios da lista

E M E

2022-01-02 13:27:55.361Z

Etapas do trabalho final

Prezad@s, O trabalho final deverá ser apresentado em etapas. Em cada etapa, vou ler o que você fez e fazer comentários e sugestões. Se você já estiver mais adiantado com o trabalho, é claro que você não precisa desfazer o que está feito. Apenas se ce...

Trabalho final

2022-01-01 22:13:29.167Z

Quociente de grupo topológico

Na primeira aula depois do recesso, vou fazer quase tudo! :-)

T_{0}

É importante saber que em grupos topológicos,

T_{0} \Rightarrow T_{2} .

T_{1}

É importante saber que

T_{1}

é o mesmo que: Todo conjunto unitário é fechado.

Trabalho final

2021-12-31 12:10:47.178Z

Compacto + Hausdorff

\Rightarrow

T_{4}

: sugestões

Regularidade Regularidade normalmente é definida em termos de vizinhanças disjuntas que separam fechados e pontos. Mas também pode ser expressa dizendo que a família

F (x)

de vizinhanças fechadas de

x

é uma base de vizinhanças para qualq...

Trabalho final

2021-12-31 11:56:42.743Z

Lista 2/01 - Exercício 5.8

Seja

X = C \cup {★}

o conjunto dos complexos estendidos. Denote a topologia usual dos complexos por por

γ

. Considerando

τ = γ \cup {{★} \cup F^{c} | F^{c} \in γ, F é l i m i t a d o},

mo...

Exercícios da lista

M2 A E

2021-12-30 22:59:06.541Z

Lista 2/03 Exercício 3

Mostre que

B = {\frac{1}{n} ∣ n \in N^{*}}

NÃO é aberto e nem fechado em

Q

Exercícios da lista

V E A

2021-12-30 03:47:38.698Z

Lista 2/04 - Exercício 1

Neste exercício vemos que o produto cartesiano comuta com a operação de fecho, mais precisamente: Sejam

(X, τ)

(Y, η)

dois espaços topológicos e considere o produto cartesiano

X \times Y

munido da topologia produto. Dados

A \subset X

e ...

Exercícios da lista

R2 E A

2021-12-30 01:54:19.733Z

Template para o trabalho final.

Aqui está o template: https://github.com/andre-caldas/template_topologia Leia com atenção as instruções dentro dos arquivos! Quem for usar o GitHub, pode simplesmente "clonar" o meu repositório. Digitar na interface web do Overleaf é muito chato!!! :...

Trabalho final

A D M

2021-12-29 22:07:50.272Z

Demonstração - Lema de Urysohn

Olá, Inicialmente enunciaremos uma caracterização para Espaço Topológico normal em termos de subconjuntos fechados e suas vizinhanças. Teorema 1: Um Espaço Topológico

(X, τ)

é normal se, e somente se, dado um subconjunto fechado

A

e um aberto ...

Lema de Urysohn

2021-12-28 23:05:24.969Z

Limite uniforme de funções contínuas

Seja

(X, τ)

um espaço topológico qualquer. Suponha que

f_{n}

é uma sequência de funções contínuas de

X

R

. E que

f_{n} \to f

uniformemente. Mostre que

f

é contínua. OBS 1: Isso é uma competição pra ver quem faz a demonst...

Desafio

A J D A

2021-12-24 20:24:13.165Z

Trabalho final

Prezad@s, Cada estudante tem interesses diferentes. Ao invés de escolher um único tema e impor a todos, decidi por dar a cada um a oportunidade de escrever sobre um tema dentre várias opções. A ideia não é simplesmente escrever uma demonstração. O ob...

Trabalho final

A D J M2 A

2021-12-24 04:03:22.229Z

Teorema de Tychonoff com ultrafiltros: sugestões

Referências Sobre convergência de filtros, eu tenho um vídeo que pode "dar uma luz"... uma motivação. É o primeiro vídeo dessa lista: https://www.youtube.com/playlist?list=PLMG2ETzS-iy_DGR8bGJtx8Cpi-ijUOhmo Eu aprendi sobre filtros e redes no "Analys...

Trabalho final

2021-12-23 12:24:56.211Z

Aula 22/12/2021-Video- Compacidade sequencial

Mostre que, dado