Curso online de Topologia Geral do departamento de matemática da Universidade de Brasília, ministrado pelo professor André Caldas (@andrecaldas).
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http://andrec.mat.unb.br/ensino/topologia_online/
| Tópicos, mais recentemente ativo primeiro | Categoria | Usuários | Respostas | Atividade |
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Como usar símbolos matemáticos com $\LaTeX$. Alguns exemplos de como usar $\LaTeX$ aqui no fórum. | General | S | 0 | 2021-12-03 16:25:39.110Z |
Prova 1 – Verão/2020 - Questão 7 Seja $G$ um grupo topológico e $H<G$. Mostre que se $\mathring{H}\neq\varnothing$ então $H$ é aberto e fechado. Dem: Suponha que $x\in\mathring{H}$ e seja $y\in H$ qualquer e note que, \begin{equation*} yx^{-1}\mathring{H}=E_{yx^{-1}}(\mathring{H}):=... | Resolução Completa | J A | 3 | 2022-01-12 21:40:43.435Z |
Compactificação de um sistema dinâmico Compactificação por um ponto Espero que você explique a compactificação por um ponto dos espaços de Hausdorff localmente compactos. Mergulho Depois é definir $$\begin{align*} \iota: X &\rightarrow (X^*)^{\mathbb{N}} \\ x &\mapsto (T^n x)_{n \in \math... | Trabalho final | AE | 8 | 2022-01-11 17:14:00.660Z |
Atração de compacto: sugestões Eu acho que não mencionei no post do trabalho final, mas acho que o espaço $X$ tem que ser Hausdorff. Convergência no infinito Dizer que $T(x,t) \xrightarrow{t \rightarrow \infty} a$ para todo $x$, é o mesmo que dizer que $T$ o sistema dinâmico $T$ p... | Trabalho final | AA | 8 | 2022-01-11 11:37:32.297Z |
Turma do fundão... Aqui é um canal pra conversar, principalmente, durante a aula! :-) Pra fazer perguntas bem formuladas e obter uma resposta bem escrita, utilize o fórum. | General | ATDRR2 | 127 | 2022-01-10 21:24:04.973Z |
Lista 2/02- Exercício 5 Seja $(X, d)$ um espaço métrico. Dado um fechado $F \subsetneq X$, mostre que a função $$\begin{array}{rrcl} d_F :& X &\rightarrow& R \ \newline & x & \mapsto & \inf d(x, F) \end{array}$$ é contínua. Tome $a \in X \ F$, utilize $d_F$ para construir u... | Exercícios da lista | DJAR2 | 4 | 2022-01-10 08:31:03.221Z |
Projeção fechada. No espaço produto, $X \times Y$, sabemos que a projeção (por exemplo) na primeira coordenada \begin{align*} \pi_1: X \times Y &\rightarrow X \\ (x,y) &\mapsto x \end{align*} NEM SEMPRE é fechada. Mostre que quando $Y$ é compacto, então $\pi_1$ é fech... | Desafio | ATA | 4 | 2022-01-09 02:03:05.572Z |
Desafio: gráfico fechado... continuidade... compacidade. Suponha que $Y$ seja um espaço compacto. Mostre que (utilize outros exercícios), se $f: X \rightarrow Y$ tem o gráfico fechado, então é contínua. Mais ainda... se $Y$ for Hausdorff, então o gráfico de $f$ é fechado se, e somente se, $f$ é contínua! | Desafio | AGA | 2 | 2022-01-08 20:34:18.478Z |
Uma isometria num espaço métrico compacto Se $(X,d)$ é um espaço métrico, uma função $f:X \to X$ que satisfaz $$d(x,y) = d(f(x),f(y)) \ \ \ \ \ \forall \ x,y \in X$$ é chamada de isometria. Para mostrar a injetividade, basta ver que $$x \neq y \implies 0 \neq d(x,y) = d(f(x),f(y)) \implies f... | Dúvidas sobre exercícios | MDA | 6 | 2022-01-08 19:30:43.097Z |
Lista 2/04 Exercício 10 Suponha que $X$ e $Y$ sejam tais que a projeção $$\pi_{1}:X\times Y \rightarrow X$$ é fechada. Mostre que se $f:X \rightarrow Y$ tem o gráfico fechado, então $f$ é contínua. | Exercícios da lista | EAM | 13 | 2022-01-08 18:12:33.741Z |
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Lista 2/04 Exercício 5 Dada uma função contínua $f: X \rightarrow Y$. Mostre que se $Y$ é de Hausdorff, então o gráfico de $f$ é fechado em $X \times Y $. Lembrando: o gráfico de uma aplicação contínua $f$ é $G(f) = \{ (x, f(x)) \in X \times Y \mid x \in X \}$. | Exercícios da lista | J2EMA | 9 | 2022-01-08 18:08:33.236Z |
Demonstração relâmpago: compacidade local. Suponha que $X$ seja regular (não necessariamente Hausdorff), e que todo $x \in X$ tem uma vizinhança compacta $K_x$. Então, $X$ é localmente compacto. O desafio é fazer a demonstração mais curta que você conseguir! | Desafio | AR2A | 3 | 2022-01-08 13:10:47.976Z |
Demonstração relâmpago: compacidade de $[a,b]$. O teorema de sub-base de Alexander diz que um espaço topológico $X$ com uma sub-base $\mathcal{C}$ é compacto quando toda cobertura $\mathcal{A} \subset \mathcal{C}$ possuir subcobertura finita. Sabemos que os conjuntos da forma $(-\infty, x)$ e $(y,... | Desafio | AJA | 2 | 2022-01-08 03:52:43.927Z |
Demonstração - Lema de Urysohn Lema de Urysohn: Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico normal e $A,B \subset X$ fechados disjuntos. Então existe uma função $$f: X \rightarrow [0,1]$$ contínua tal que $ f|_{A} \equiv 0$ e $f|_{B} \equiv 1$. Antes de demonstrarmos o lema vamos prova... | Lema de Urysohn | EA | 1 | 2022-01-08 02:02:55.823Z |
Prova 1 - Verão/2020 - Questão 3 Seja $X$ um conjunto e $\tau$ uma família de subconjuntos de $X$ formada pelos abertos de uma topologia em $X$. Para cada $x \in X$, podemos construir a família $$ \alpha(x) = \{ V \subset X \ | \ \exists A \in \tau, x \in A \subset V \}. $$ Podemos ... | Resolução Completa | A | 1 | 2022-01-06 22:29:57.353Z |
Prova 1 - Verão/2020 - Questão 3 Seja $X$ um conjunto e $\tau$ uma família de subconjuntos de $X$ formada pelos abertos de uma topologia em $X$. Para cada $x \in X$, podemos construir a família $$ \alpha(x) = \{ V \subset X \ | \ \exists A \in \tau, x \in A \subset V \}. $$ Podemos ... | Resolução Completa | | 0 | 2022-01-06 21:27:14.903Z |
Axiomas de separação Este aqui é apenas um comentário sobre algo em que venho pensando. No livro do Munkres, espaços regulares e normais são definidos como sendo obrigatoriamente $T_1$. Porém, isso implica que todo espaço normal é regular e todo espaço regular é Hausdorf... | Ideas | MAM | 3 | 2022-01-06 20:42:29.199Z |
Prova 2 - 2020 - Questão 5 $\textbf{Exercício:}$ Considere a função contínua e injetiva \begin{align*} f: \{ 0,2 \}^{\mathbb{N}^*} &\rightarrow [0,1]\\ x &\mapsto \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n}. \end{align*} A imagem de $f$ é o conjunto de cantor $C \subset [0,1]$,... | Resolução Completa | GA | 4 | 2022-01-06 17:42:59.821Z |
Prova 1 - Verão/2020 - Questão 6.2 Essa questão pede para mostrar que se $f,g :X \to Y$ são contínuas e $Y$ é Hausdorff, então $$ B = \{ x \in X \ | \ f(x) = g(x) \} $$ é fechado. Eu tentei mostrar que se $x \notin B$, então $x \notin \overline{B}$, mas não sei se concluí certo. Segue... | Resolução Completa | A | 9 | 2022-01-06 14:45:00.040Z |
Prova 1 - Verão/2020 - Questão 6.1 A questão pede para mostrar que dado um espaço topológico $X$, o conjunto $$ \Delta = \{ (x,x) \ | \ x\in X \} \subseteq X \times X $$ é fechado na topologia produto se, e somente se, $X$ é Hausdorff. Pensei no seguinte argumento para demonstrar: se ... | Resolução Completa | JA | 6 | 2022-01-06 14:29:15.609Z |
Formalização do Teorema da Subbase de Alexander Vamos demonstrar o Teorema da subbase de Alexander (visto na aula de ontem no vídeo Compacidade na Topologia Produto): Seja $X$ um espaço topológico e $\mathscr{C}$ uma subbase para a topologia em $X$. Se toda cobertura aberta $\mathscr{A} \subseteq ... | Dever de casa dos vídeos | MR2AM | 7 | 2022-01-06 13:09:10.368Z |
Prova 2 - 2020 - Questão 2 Exercício: Seja $X$ um espaço de Hausdorff e $K \subset X$ um compacto. Mostre que $K$ é fechado. Resolução: Basta mostrar que $X \setminus K$ é aberto. Seja $x \in X \setminus K$ arbitrário. Para cada $y \in K$, devido a $X$ ser Hausdorff, existem v... | Resolução Completa | R2DA | 8 | 2022-01-05 15:49:08.822Z |
Preparação para a primeira etapa. Prezad@s, Daqui a algumas horas, 00:00 do dia 05/01/2022, vou baixar e compilar o trabalho de vocês no meu computador, usando esses comandos: $ xelatex trabalho_final_de_topologia_geral
$ bibtex trabalho_final_de_topologia_geral
$ xelatex traba... | Trabalho final | ATR2A | 4 | 2022-01-05 11:34:42.418Z |
Prova 1 – Verão/2020- Questão 1 Seja $X$ um conjunto munido de uma topologia dada por uma família de abertos $\tau$. Com os elementos de $\tau$ , para cada $x \in X$, podemos construir a família: \begin{equation*} \alpha(x) = \{V \subset X \mid \exists A \in \tau, x \in A \subset V... | Resolução Completa | VJA | 13 | 2022-01-04 22:22:15.938Z |
Um linhão... Qual é a diferença entre essas duas linhas? se você escrever um linhão enorme... se você escrever um linhão enorme... se você escrever um linhão enorme... se você escrever um linhão enorme... se você escrever um linhão enorme... se você escrever um l... | Trabalho final | A | 0 | 2022-01-03 16:27:54.633Z |
Lista 2/04 - Exercício 8 Mostre que a projeção $$ \pi_1: X\times Y\to X $$ é aberta. | Exercícios da lista | EA | 6 | 2022-01-02 15:45:44.830Z |
Lista 2/01 Exercício 5.7.a) Para cada um dos casos abaixo, mostre que $(X,\tau)$ é uma topologia. Compactificação por um Ponto dos Reais. Seja $X=\mathbb{R}\cup \{\bigstar\}$. Denote a topologia usual dos reais por $\gamma$. a)$\tau=\gamma \cup \left\{\{\bigstar\} \cup F^{\comp... | Exercícios da lista | EME | 2 | 2022-01-02 13:27:55.361Z |
Etapas do trabalho final Prezad@s, O trabalho final deverá ser apresentado em etapas. Em cada etapa, vou ler o que você fez e fazer comentários e sugestões. Se você já estiver mais adiantado com o trabalho, é claro que você não precisa desfazer o que está feito. Apenas se ce... | Trabalho final | A | 0 | 2022-01-01 22:13:29.167Z |
Quociente de grupo topológico Na primeira aula depois do recesso, vou fazer quase tudo! :-) $T_0$ É importante saber que em grupos topológicos, $$T_0 \Rightarrow T_2.$$ $T_1$ É importante saber que $T_1$ é o mesmo que: Todo conjunto unitário é fechado. | Trabalho final | A | 0 | 2021-12-31 12:10:47.178Z |
Compacto + Hausdorff $\Rightarrow$ $T_4$: sugestões Regularidade Regularidade normalmente é definida em termos de vizinhanças disjuntas que separam fechados e pontos. Mas também pode ser expressa dizendo que a família $\mathscr{F}(x)$ de vizinhanças fechadas de $x$ é uma base de vizinhanças para qualq... | Trabalho final | A | 0 | 2021-12-31 11:56:42.743Z |
Lista 2/01 - Exercício 5.8 Seja $X = \mathbb{C} \cup \{\bigstar\}$ o conjunto dos complexos estendidos. Denote a topologia usual dos complexos por por $\gamma$. Considerando $$ \tau = \gamma \cup \left\{\{\bigstar\} \cup F^{c}\ |\ F^c \in \gamma, F\ é\ limitado \right \},$$ mo... | Exercícios da lista | M2AE | 8 | 2021-12-30 22:59:06.541Z |
Lista 2/03 Exercício 3 Mostre que $B= \{\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^{\ast} \}$ NÃO é aberto e nem fechado em $\mathbb{Q}$ | Exercícios da lista | VEA | 4 | 2021-12-30 03:47:38.698Z |
Lista 2/04 - Exercício 1 Neste exercício vemos que o produto cartesiano comuta com a operação de fecho, mais precisamente: Sejam $(X,\tau)$ e $(Y,\eta)$ dois espaços topológicos e considere o produto cartesiano $X \times Y$ munido da topologia produto. Dados $A \subset X$ e ... | Exercícios da lista | R2EA | 8 | 2021-12-30 01:54:19.733Z |
Template para o trabalho final. Aqui está o template: https://github.com/andre-caldas/template_topologia Leia com atenção as instruções dentro dos arquivos! Quem for usar o GitHub, pode simplesmente "clonar" o meu repositório. Digitar na interface web do Overleaf é muito chato!!! :... | Trabalho final | ADM | 11 | 2021-12-29 22:07:50.272Z |
Demonstração - Lema de Urysohn Olá, Inicialmente enunciaremos uma caracterização para Espaço Topológico normal em termos de subconjuntos fechados e suas vizinhanças. Teorema 1: Um Espaço Topológico $(X, \tau)$ é normal se, e somente se, dado um subconjunto fechado $A$ e um aberto ... | Lema de Urysohn | M | 0 | 2021-12-28 23:05:24.969Z |
Limite uniforme de funções contínuas Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico qualquer. Suponha que $f_n$ é uma sequência de funções contínuas de $X$ em $\mathbb{R}$. E que $f_n \rightarrow f$ uniformemente. Mostre que $f$ é contínua. OBS 1: Isso é uma competição pra ver quem faz a demonst... | Desafio | AJDA | 5 | 2021-12-24 20:24:13.165Z |
Trabalho final Prezad@s, Cada estudante tem interesses diferentes. Ao invés de escolher um único tema e impor a todos, decidi por dar a cada um a oportunidade de escrever sobre um tema dentre várias opções. A ideia não é simplesmente escrever uma demonstração. O ob... | Trabalho final | ADJM2A | 66 | 2021-12-24 04:03:22.229Z |
Teorema de Tychonoff com ultrafiltros: sugestões Referências Sobre convergência de filtros, eu tenho um vídeo que pode "dar uma luz"... uma motivação. É o primeiro vídeo dessa lista: https://www.youtube.com/playlist?list=PLMG2ETzS-iy_DGR8bGJtx8Cpi-ijUOhmo Eu aprendi sobre filtros e redes no "Analys... | Trabalho final | A | 0 | 2021-12-23 12:24:56.211Z |
Aula 22/12/2021-Video- Compacidade sequencial Mostre que, dado $(X,d)$ um espaço métrico, se $X$ é sequencialmente compacto então $X$ é limitado. https://www.youtube.com/watch?v=0_1iuwa26XI | Dever de casa dos vídeos | DAD | 7 | 2021-12-22 21:30:25.818Z |
Lista 2/05 - Exercício 7 Seja $S \subset \mathbb{C}$ o círculo unitário. E seja $ S' = S \setminus {1} $. Considere $\Omega$, o espaço de todas as funções contínuas $f : S' \rightarrow S.$ Mostre que $ S'$ é homeomorfo a um subespaço de $S^{\Omega}$. Ou seja, mostre que exis... | Exercícios da lista | DR2GA | 13 | 2021-12-22 13:14:31.784Z |
Um subgrupo de um grupo topológico Um grupo topológico é um grupo $G$ que é um espaço topológico e satisfaz o axioma $T_1$: Conjuntos finitos de pontos são fechados. Além disso as operações \begin{align*} \psi : & G \times G \to G\ & (x,y) \mapsto x \cdot y \end{align*} e \begin{align... | Dúvidas sobre exercícios | MAM | 4 | 2021-12-22 11:33:38.522Z |