Curso online de Topologia Geral do departamento de matemática da Universidade de Brasília, ministrado pelo professor André Caldas (@andrecaldas).
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http://andrec.mat.unb.br/ensino/topologia_online/
| Tópicos, mais recentemente ativo primeiro | Categoria | Usuários | Respostas | Atividade |
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Lista 1/03 - Exercício 3 Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Considere o conjunto $X^2$ com a métrica do máximo \begin{align*} m:X^2\times X^2&\rightarrow \mathbb{R}\\ (a,b)&\mapsto \max(d(a_1,b_1),d(a_2,b_2)) \end{align*} Mostre que a diagonal \begin{align*} \bigtriangleup =\{ ... | Exercícios da lista | JGA | 4 | 2021-12-07 16:19:45.976Z |
Lista 1/04 - Exercício 11 Considere a topologia usual em $\mathbb{R}$. Mostre que $$ \mathscr{B} = \left\{ \left[ \sqrt{2} - \frac{4}{n^2+1}, \sqrt{2} + \frac{1}{n} \right] \ \Bigg | \ n\in\mathbb{N}^* \right\} $$ é uma base de vizinhanças para o ponto $\sqrt{2}$. | Exercícios da lista |  AR | 3 | 2021-12-07 15:05:33.147Z |
Lista 1/04 - Exercício 2 .1 Seja $(X, d)$ um espaço métrico. Dado um ponto $a\in X$, considere a família de vizinhanças de $a$, $$\mathscr{V}(a)=\{V\subseteq X \mid \exists\varepsilon>0,B_\varepsilon(a)\subseteq V\}.$$ Explique por que a família a seguir, dependendo da métrica ... | Exercícios da lista | A | 0 | 2021-12-07 15:04:03.121Z |
Espaço das Funções Lipschitzianas Seja $X$ um conjunto qualquer não-vazio e $d_1, d_2 : X \times X \to [0,+\infty)$ duas métricas em $X$. Para $i=1,2$, defina: $$ L_i = \{ f : X \to X : f \ \mbox{é Lipschitz com relação à métrica} \ d_i \} $$ Em outras palavras, $f \in L_i \iff \exis... | Desafio | RJA | 7 | 2021-12-07 14:31:59.421Z |
Lista 2/ 03 Mostre que $$ \begin{align*} f: \mathbb{R} &\rightarrow \mathbb{R} \\ x& \mapsto \begin{cases} sen(\frac{1}{x}),& se\ x \neq 0 \\ 0 ,& se \ x=0 \end{cases} \end{align*} \\ $$ é descontínua em 0 | Exercícios da lista | JMA | 6 | 2021-12-07 14:22:38.967Z |
Lista 1/01 - Exercício 2- 16 Para cada espaço métrico ( ou pseudo-métrico) $(X,d)$ a seguir, descreva, da forma que achar mais interessante, as sequências convergentes, as bolas, as vizinhanças de um ponto e os abertos. Se $X=[0,1 ]^{\mathbb{N}^*}$ e $$\begin{array}{rcl} d: & X ... | Exercícios da lista | DAD | 2 | 2021-12-07 13:32:56.922Z |
Lista 1/04 - Exercício 3 Utilizando as bases do exercício 1 da Lista 1/04 escreva definições de continuidade alternativas e bizarras — que substituam aquelas tradicionais com $\epsilon$ e $\delta$ para $f : X \rightarrow Y$ , onde $X$ e $Y$ são espaços métricos. Dica: pra fi... | Exercícios da lista | T | 0 | 2021-12-07 13:10:58.125Z |
Lista 1/03 - Exercício 2 Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Dado um ponto $a\in X$, considere a família de vizinhanças de $a$, $$ \mathscr{V}(a) = \{ V\subset X \ \Big| \ \exists\varepsilon > 0, B_{\varepsilon}(a)\subset V \}. $$ Mostre que $\mathscr{V}(a)$ é um filtro. Ou seja... | Exercícios da lista | JA | 6 | 2021-12-07 12:43:53.501Z |
Lista 1/03 - Exercício 4 Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. E seja $F\subset X$ um conjunto fechado. Mostre que se $x_n \in F$ converge para $a$, então $a \in F$. | Exercícios da lista | J2J | 1 | 2021-12-07 03:59:41.941Z |
Lista 1/01- Exercício 1 - ( Exercício 1.3.1 do livro texto) Olá, para verificar a terceira propriedade desse exercício( desigualdade triangular), me deparei com a seguinte situação: $$max\lbrace d_A(a_1,a_3), d_B(b_1,b_3)\rbrace \leq max\lbrace d_A(a_1,a_2), d_B(b_1,b_2)\rbrace + max\lbrace d_A(a_2,a_3), d_B(... | Dúvidas | SJ | 1 | 2021-12-07 00:22:15.069Z |
| Explicar ícones... | ||||
Translação é contínua Seja $(E, \|\cdot\|)$ um espaço vetorial normado, e seja $a \in E$ um ponto qualquer. Mostre que a transformação $$ \begin{align*} S_a: E &\rightarrow E \\ v &\mapsto a + v \end{align*} $$ é inversível, contínua e sua inversa também é contínua. PS: U... | Série B | AME | 13 | 2021-12-06 23:38:05.892Z |
Lista 1/02 - Exercício 9 Sejam $||\cdot||_1$ e $||\cdot||_2$ duas normas definidas no conjunto $X$, diremos que essas duas normas são equivalentes quando existem $\alpha,\beta>0$ tais que para todo $x\in X$ temos $$\alpha ||x||_1\leqslant ||x||_2 \leqslant \beta ||x||_1$$ O ... | Exercícios da lista | AA | 5 | 2021-12-06 22:23:10.765Z |
Lista 1/02 - Exercício 12 Seja $A \subset \mathbb{Q}$, onde $\mathbb{Q}$ é munido da métrica induzida dos reais \begin{align*} d: \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} &\rightarrow \mathbb{R} \\ (p,q) &\mapsto |q - p| \end{align*} Descreva da melhor forma possível, quando é que a funç... | Exercícios da lista | M2TAJ | 3 | 2021-12-06 21:32:04.044Z |
Lista 1/03 - Exercício 1.1 Para o caso a seguir, verifique que o sistema de vizinhança descrito define uma topologia. Ou seja, verifique que satisfaz os axiomas de 1 a 5 descritos na vídeo aula. Tente descrever em português o significado de $x \in \overline{B}$ nessa topologia... | Exercícios da lista | DJAA | 12 | 2021-12-06 21:09:53.800Z |
Lista 1/03 - Exercício 6 Sejam $X$ e $Y$ espaços topológicos. Suponha que cada ponto $x\in X$ é tal que $\mathscr{V}(x)$ tem uma base enumerável $$ \mathscr{B}_x = \{ B_1(x), B_2(x), \dots \}. $$ Nesse caso, se $f$ é sequencialmente contínua, ou seja, $$ x_n\to a \implies f(... | Exercícios da lista | A | 1 | 2021-12-06 19:16:21.791Z |
Lista1/02- Exercício 13 Considere o conjunto $X= \mathbb{N}^* \cup {\infty}$, munido da métrica $$ \begin{array}{rccl} d : & X \times X & \rightarrow & \mathbb{R} \newline & (x,y) & \mapsto & \mid \frac{1}{y} - \frac{1}{x} \mid \end{array}$$ em que $\frac{1}{\infty} = 0$. D... | Exercícios da lista | D | 0 | 2021-12-06 19:14:41.350Z |
Translação de normas Série B Suponha que $\|\cdot\|$ é uma norma em $\mathbb{R}^n$. Mostre que, na topologia da norma, para qualquer $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$, $$ \mathcal{V}(\vec{a}) = \vec{a} + \mathcal{V}(\vec{0}). $$ Onde, a notação $\vec{a} + \mathcal{V}(\vec{0})$ ... | Série B | ARMA | 4 | 2021-12-06 14:42:41.844Z |
Lista 1/03 Exercício 5 Sejam $X$ e $Y$ espaços topológicos. Mostre que se $f : X \rightarrow Y$ é contínua, então, para $x_{n} \in X$, $$x_{n} \rightarrow a \Rightarrow f(x_{n}) \rightarrow f(a)$$. | Exercícios da lista | VAR | 3 | 2021-12-06 14:23:31.590Z |
Lista 1/03 - Exercício 5 Sejam $X$ e $Y$ espaços topológicos. Mostre que se $f: X \rightarrow Y$ é contínua, então, para $x_n \in X$, $$ x_n \to a \implies f(x_n) \to f(a). $$ | Resolução Completa |  RA | 2 | 2021-12-06 14:08:56.075Z |
Métrica induzida e vizinhanças No vídeo extra da aula 2, o professor fala em métrica induzida. Se $X$ é um espaço métrico e $Y\subseteq X$, que tipos de vizinhanças tem os pontos de $Y$ (com a a métrica induzida de $X$)? Eu estava com problemas para chegar a uma intuição correta s... | Ideas | MA | 3 | 2021-12-06 04:01:53.168Z |
Sabendo quem são as séries convergentes e pra onde convergem Em um espaço métrico $X$. Dado um ponto $a$, descreva a família $\mathcal{V}(a)$ SEM USAR A MÉTRICA! Ao invés disso, utilize as sequências que convergem para $a$. Utilize a métrica apenas para demonstrar que de fato, a família que você construiu é fo... | Desafio | ATRJ | 18 | 2021-12-05 20:46:51.552Z |
Espaço normado: continuidade em qualquer ponto Série B Considere os espaços normados $(V, \|\cdot\|_1)$ e $(W, \|\cdot\|_2)$. Seja $$ T: V \rightarrow W $$ uma transformação linear que é contínua (nas topologias das normas) em um determinado ponto $\vec{p} \in V$. Mostre que $T$ é contínua em tod... | Série B | ARJ | 13 | 2021-12-05 00:24:10.276Z |
Espaços métricos: unicidade dos limites Série B Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Suponha que $x_n \in X$ é tal que $$ x_n \rightarrow a\quad\text{e}\quad x_n \rightarrow b. $$ Ou seja, $x_n$ converge tanto pra $a$ quanto para $b$, então $a = b$. | Série B | AJD | 3 | 2021-12-04 22:57:00.153Z |
Definição 3.7. Na definição 3.7 (base de vizinhanças) no final está escrito "com $B \subset Y$". Não deveria ser "com $B \subset V$"? | Notas de Aula | R | 2 | 2021-12-04 20:48:26.443Z |
Que tal se apresentar? Quem quiser, pode usar essa página pra se apresentar. Lembre-se que esse fórum está aberto ao público em geral. | General | AADJL | 53 | 2021-12-04 18:30:34.875Z |
Um desafio muuuuito simples. OBS: Não sei porque vocês estão tão preocupados com "a menor distância". Vocês estão com pressa??? Com preguiça de caminhar??? Custa caro??? :-P Explique de maneira muito simples, muito intuitiva... como se estivesse explicando pra alguém que é intel... | Desafio | AADJA | 21 | 2021-12-04 03:29:40.588Z |
Transformação linear contínua Série B Considere as normas do máximo $\|\cdot\|_\infty$ em $\mathbb{R}^p$ e $\mathbb{R}^q$. Mostre que toda transformação linear $$ T: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^q, $$ nas topologias das normas do máximo, é contínua em $\vec{0}$. | Série B | ADS | 6 | 2021-12-03 23:04:17.514Z |
Transformação linear limitada Série B Sejam $(V, \|\cdot\|_1)$ e $(W, \|\cdot\|_2)$ espaços normados. Dizemos que um conjunto $A \subset V$ (ou $\subset W$) é limitado quando existir $B \in \mathcal{B}(\vec{0})$, tal que $A \subset B$. Dada uma transformação linear $$ T: V \right... | Série B | ADS | 5 | 2021-12-03 23:01:48.823Z |
Bola fechada e fecho da bola. Dê um exemplo de uma métrica em $\mathbb{R}$, onde $$ \overline{B}_5(\pi) \neq \overline{B_5(\pi)}. $$ | Resolução Completa | ADAA | 33 | 2021-12-03 21:08:30.482Z |
Métricas equivalentes Série B Considere três normas em $\mathbb{R}^n$: $\|\vec{v}\|_\infty = \max(|v_1|, \dotsc, |v_n|)$ $\|\vec{v}\|_\sigma = |v_1| + \dotsb + |v_n|$ $\|\vec{v}\| = \sqrt{|v_1|^2 + \dotsb + |v_n|^2}$. Mostre que os sistemas de vizinhanças do $\vec{0}$ ger... | Série B | ADA | 2 | 2021-12-03 21:03:26.688Z |
Equivalência de normas: continuidade Série A Atenção: utilize o resultado de outros exercícios da Série A. Tem um teorema que diz que, em $\mathbb{R}^n$, todas as normas são equivalentes. Utilizando esse resultado, mostre que toda transformação linear $$ T: \mathbb{R}^p \rightarrow \mat... | Série A | ACRAA | 24 | 2021-12-03 16:51:19.074Z |
Como usar símbolos matemáticos com $\LaTeX$. Alguns exemplos de como usar $\LaTeX$ aqui no fórum. | General | S | 0 | 2021-12-03 16:25:39.110Z |
Equivalência de normas: seminormas Série A Atenção: utilize o resultado de outros exercícios da Série A. Tem um teorema que diz que, em $\mathbb{R}^n$, todas as normas são equivalentes. Utilizando esse resultado, mostre que se $|\cdot|$ é uma seminorma em $\mathbb{R}^n$ e $\|\cdot\|$ ... | Série A | ATRA | 12 | 2021-12-03 14:37:51.474Z |
Será que é fechado? Dado $(X,\tau)$ um espaço topológico, definimos os abertos da topologia induzida em um subespaço $X'$ como sendo a interseção dos elementos de $\tau$ com $X'$. Considere o seguinte subconjunto da reta real: $$Y= [2,4] \cup (5,6).$$ Será que $(5,6)$ é... | Dúvidas sobre exercícios | MAVA | 7 | 2021-12-03 13:28:08.333Z |
Bola aberta é aberta Série B Mostre que, em um espaço métrico, a bola aberta é aberta. Atenção: Se você for responder, dê o seu melhor! Uma resposta completa, detalhada, com parágrafos... com estética. :-) | Série B | A | 3 | 2021-12-03 13:27:55.460Z |
Espaços normados: condição que implica normas equivalentes Série A Atenção: utilize o resultado de outros exercícios da Série A. Tem um teorema que diz que, independente das normas em $\mathbb{R}^p$ e $\mathbb{R}^q$, todas as transformações lineares $$ T: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^q $$ são contínua... | Série A | AR | 3 | 2021-12-03 13:17:13.943Z |
Dúvida - Aula 2 - vídeo extra Oi pessoal, No vídeo extra de ontem sobre métrica induzida e métrica produto, o professor explicou sobre $A^X$, conjunto das funções de $X$ em $A$. Ele disse algo nesse sentido "uma função é um produto gigantesco" (a partir 12:00), alguém pode explic... | Dúvidas | MA | 3 | 2021-12-03 13:08:52.718Z |
Espaço métrico é "Hausdorff" Série B Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Mostre que se $a,b \in X$ são pontos distintos, então existem $$ V \in \mathcal{V}(a) \quad\text{e}\quad W \in \mathcal{V}(b) $$ tais que $V \cap W = \emptyset$. Em português: existem vizinhanças de $a$ e $b$ q... | Série B | AJMA | 6 | 2021-12-03 13:06:58.812Z |
Seminormas Série A Seja $V$ um espaço vetorial. Mostre que a soma de duas seminormas em $V$ é uma seminorma. E que se ao menos uma delas for uma norma, então a soma é uma norma. | Série A | ATRA | 4 | 2021-12-03 12:51:42.840Z |
Espaço métrico: conjunto unitário é fechado Série B Seja $(X,d)$ um espaço métrico, e $a \in X$ um elemento de $X$. Mostre que o conjunto $\{a\}$ é fechado. Utilize a seguinte definição de fechado: Um conjunto $F$ é fechado $\Leftrightarrow$ $F = \overline{F}$. E a seguinte definição de fecho:... | Série B | AA | 4 | 2021-12-03 12:04:31.965Z |