Curso online de Topologia Geral do departamento de matemática da Universidade de Brasília, ministrado pelo professor André Caldas (@andrecaldas).
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http://mat.unb.br/andrec/ensino/topologia_online/
| Tópicos, mais recentemente ativo primeiro | Categoria | Usuários | Respostas | Atividade |
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Que tal se apresentar? Quem quiser, pode usar essa página pra se apresentar. Lembre-se que esse fórum está aberto ao público em geral. | General | AADJL | 53 | 2021-12-04 18:30:34.875Z |
Bola fechada e fecho da bola. Dê um exemplo de uma métrica em $\mathbb{R}$, onde $$ \overline{B}_5(\pi) \neq \overline{B_5(\pi)}. $$ | Resolução Completa | AD AA | 33 | 2021-12-03 21:08:30.482Z |
Exercício 2 - Lista 1 / 02 Olá, pessoal. Fiquei com uma dúvida nesse exercício. Tomando uma sequência de racionais convergindo para $\sqrt{2}$ a sequência das imagens será constante igual a $0$, logo não converge para $f(\sqrt{2})=\sqrt{2}$. Assim $f$ não pode ser contínua, ma... | Questions | AJ2A | 4 | 2021-12-02 19:15:12.080Z |
Template para o trabalho final. Aqui está o template: https://github.com/andre-caldas/template_topologia Leia com atenção as instruções dentro dos arquivos! Quem for usar o GitHub, pode simplesmente "clonar" o meu repositório. Digitar na interface web do Overleaf é muito chato!!! :... | Trabalho final | ADM | 11 | 2021-12-29 22:07:50.272Z |
Lista 1/01 - 01/12 Tópico para discutirmos os exercícios da lista de hoje 01/12/21 | General | RJR2MT | 31 | 2021-12-02 11:12:53.316Z |
Prova 1 - Verão/2020 - Questão 3 Seja $X$ um conjunto e $\tau$ uma família de subconjuntos de $X$ formada pelos abertos de uma topologia em $X$. Para cada $x \in X$, podemos construir a família $$ \alpha(x) = \{ V \subset X \ | \ \exists A \in \tau, x \in A \subset V \}. $$ Podemos ... | Resolução Completa | A | 1 | 2022-01-06 22:29:57.353Z |
Dúvida - Aula 2 - vídeo extra Oi pessoal, No vídeo extra de ontem sobre métrica induzida e métrica produto, o professor explicou sobre $A^X$, conjunto das funções de $X$ em $A$. Ele disse algo nesse sentido "uma função é um produto gigantesco" (a partir 12:00), alguém pode explic... | Dúvidas | MA | 3 | 2021-12-03 13:08:52.718Z |
Prova do Lema de Urysohn Antes de enunciar e provar o Lema de Urysohn, vamos provar o seguinte: Lema 1: Sejam $(X,\tau)$ um espaço topológico normal, $F \subset X$ um conjunto fechado e $A$ um aberto tal que $F \subset A$. Então existe $U \in \tau$ tal que $$F \subset U \sub... | Lema de Urysohn | TAT | 2 | 2021-12-16 11:18:24.302Z |
Lista 1/02 - Exercício 1 - (Exercício 2.3.1 do livro) Em um espaço métrico $X$, dado $x \in X$, dizemos que $V \subset X$ é uma vizinhança de $x$ quando existir uma bola $B_{\epsilon}(x)$ tal que $B_{\epsilon}(x) \subset V$. Vamos denotar por $\mathcal{V}(x)$ a família de todas as vizinhanças de $x$. Mo... | Exercícios da lista | TDM | 5 | 2021-12-08 12:47:40.850Z |
Possíveis topologias em um conjunto Determine todas as possíveis topologias em $X = \{a,b,c\}$. Este é um ótimo exercício para treinar a definição de topologia. | Desafio | TR | 5 | 2021-12-10 17:07:01.503Z |
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Prova 1 - Verão/2020 - Questão 6.1 A questão pede para mostrar que dado um espaço topológico $X$, o conjunto $$ \Delta = \{ (x,x) \ | \ x\in X \} \subseteq X \times X $$ é fechado na topologia produto se, e somente se, $X$ é Hausdorff. Pensei no seguinte argumento para demonstrar: se ... | Resolução Completa | JA | 6 | 2022-01-06 14:29:15.609Z |
Lista 1/04 - Exercício 10 - [CONTRA-EXEMPLO] Um conjunto que é sequencialmente fechado mas que não é fechado Acredito que tenham vários contra-exemplos, mas um que achei muito interessante foi do Primeiro Ordinal Não-Enumerável (tradução livre para First Uncountable Ordinal). Números ordinais são ferramentas para quantificar a cardinalidade de um conjunto, ... | Exercícios da lista | RA | 1 | 2021-12-08 21:27:56.356Z |
Lista 1/03 - Exercício 2 Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Dado um ponto $a\in X$, considere a família de vizinhanças de $a$, $$ \mathscr{V}(a) = \{ V\subset X \ \Big| \ \exists\varepsilon > 0, B_{\varepsilon}(a)\subset V \}. $$ Mostre que $\mathscr{V}(a)$ é um filtro. Ou seja... | Exercícios da lista | JA | 6 | 2021-12-07 12:43:53.501Z |
Lista 1/03 - Exercício 4 Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. E seja $F\subset X$ um conjunto fechado. Mostre que se $x_n \in F$ converge para $a$, então $a \in F$. | Exercícios da lista | J2J | 1 | 2021-12-07 03:59:41.941Z |
Dúvidas e Sugestões - Apostila Tomei a liberdade de criar este tópico para que possam ser debatidas dúvidas sobre a apostila ou quem sabe até fazer um comentário complementando algo dela. | General | RMGAE | 16 | 2021-12-08 21:04:04.877Z |
Lista 1/03 - Exercício 1.1 Para o caso a seguir, verifique que o sistema de vizinhança descrito define uma topologia. Ou seja, verifique que satisfaz os axiomas de 1 a 5 descritos na vídeo aula. Tente descrever em português o significado de $x \in \overline{B}$ nessa topologia... | Exercícios da lista | DJAA | 12 | 2021-12-06 21:09:53.800Z |
Bolas abertas fechadas Série B É possível que bolas abertas sejam fechadas? Defina um espaço métrico em que isso ocorre (a escolha do espaço é livre). Existem várias respostas possíveis. Um desafio é que o espaço seja o mais simples possível. Outro, é que seja um espaço co... | Série B | MHVE | 19 | 2021-12-08 21:09:47.212Z |
Lista 2/05 - Exercício 4 A topologia produto no cubo $\Omega = [0,1]^{\mathbb{N}}$ é metrizável, isto é, existe uma métrica em $\Omega$ que gera sua topologia. Encontre uma tal métrica e responda, do ponto de vista topológico, qual é a relação entre esse métrica e a do supremo. | Exercícios da lista | TAR | 7 | 2021-12-19 13:08:13.370Z |
Prova 1 – Verão/2020 - Questão 7 Seja $G$ um grupo topológico e $H<G$. Mostre que se $\mathring{H}\neq\varnothing$ então $H$ é aberto e fechado. Dem: Suponha que $x\in\mathring{H}$ e seja $y\in H$ qualquer e note que, \begin{equation*} yx^{-1}\mathring{H}=E_{yx^{-1}}(\mathring{H}):=... | Resolução Completa | JA | 3 | 2022-01-12 21:40:43.435Z |
Demonstração relâmpago: compacidade local. Suponha que $X$ seja regular (não necessariamente Hausdorff), e que todo $x \in X$ tem uma vizinhança compacta $K_x$. Então, $X$ é localmente compacto. O desafio é fazer a demonstração mais curta que você conseguir! | Desafio | ARA | 3 | 2022-01-08 13:10:47.976Z |
Aula-15/12/2021- Video- Produto de Duas Topologias Mostre que a função $$det: (\mathbb{R}^{n})^{n} \rightarrow\mathbb{R}$$ $$M\mapsto det(M)$$ é continua na topologia produto. View on YouTube | Dever de casa dos vídeos | DARM2 | 3 | 2021-12-20 01:37:55.271Z |
Lista 1/04 - Exercício 7 Seja $X$ um espaço topológico onde determinado ponto $x \in X$ é tal que $\mathscr{V}(x)$ tem uma base enumerável $$ \mathscr{B} = \{B_1,B_2,...\}. $$ Mostre que $x$ possui uma base de vizinhanças encaixadas. Ou seja, uma base de vizinhanças $$\maths... | Exercícios da lista | MAM | 3 | 2021-12-07 18:16:08.011Z |
Seminormas Série A Seja $V$ um espaço vetorial. Mostre que a soma de duas seminormas em $V$ é uma seminorma. E que se ao menos uma delas for uma norma, então a soma é uma norma. | Série A | ATRA | 4 | 2021-12-03 12:51:42.840Z |
Prova 1 – Verão/2020- Questão 1 Seja $X$ um conjunto munido de uma topologia dada por uma família de abertos $\tau$. Com os elementos de $\tau$ , para cada $x \in X$, podemos construir a família: \begin{equation*} \alpha(x) = \{V \subset X \mid \exists A \in \tau, x \in A \subset V... | Resolução Completa | VJA | 13 | 2022-01-04 22:22:15.938Z |
Formalização do Teorema da Subbase de Alexander Vamos demonstrar o Teorema da subbase de Alexander (visto na aula de ontem no vídeo Compacidade na Topologia Produto): Seja $X$ um espaço topológico e $\mathscr{C}$ uma subbase para a topologia em $X$. Se toda cobertura aberta $\mathscr{A} \subseteq ... | Dever de casa dos vídeos | M2RAM2 | 7 | 2022-01-06 13:09:10.368Z |
Lista 2/04 - Exercício 8 Mostre que a projeção $$ \pi_1: X\times Y\to X $$ é aberta. | Exercícios da lista | EA | 6 | 2022-01-02 15:45:44.830Z |
Lista 2/05- Exercício 5 O verdadeiro cubo de Hilbert é da forma: $$\Omega = [0, 1] \times [0, 1/2] \times [0, 1/3] \times [0, 1/4] \times [0, 1/5] \times \dotsb$$ Mostre que a topologia produto no cubo de Hilbert é dada pela métrica do supremo. | Exercícios da lista | VRAT | 6 | 2021-12-21 15:13:53.358Z |
Lista 1/02 - Exercício 12 Seja $A \subset \mathbb{Q}$, onde $\mathbb{Q}$ é munido da métrica induzida dos reais \begin{align*} d: \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} &\rightarrow \mathbb{R} \\ (p,q) &\mapsto |q - p| \end{align*} Descreva da melhor forma possível, quando é que a funç... | Exercícios da lista | MTAJ | 3 | 2021-12-06 21:32:04.044Z |
Equivalência de normas: continuidade Série A Atenção: utilize o resultado de outros exercícios da Série A. Tem um teorema que diz que, em $\mathbb{R}^n$, todas as normas são equivalentes. Utilizando esse resultado, mostre que toda transformação linear $$ T: \mathbb{R}^p \rightarrow \mat... | Série A | ACRAA | 24 | 2021-12-03 16:51:19.074Z |
Lista 2/05 - Exercício 1 Mostre que se $X_{\lambda}$ ($\lambda \in \Lambda$) são espaços de Hausdorff, então $$X = \prod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda}$$ também é Hausdorff. | Exercícios da lista | GR | 1 | 2021-12-17 12:43:38.366Z |
Interseção de fechados. Utilizando a operação de fecho $$ \overline{D} = \{x \in X :\, \forall V \in \mathcal{V}(a),\, V \cap D \neq \emptyset \}, $$ e a definição de fechado $$ \text{$F$ é fechado} \Leftrightarrow F = \overline{F}, $$ mostre que a interseção de fechados é ... | Resolução Completa | AABV | 11 | 2021-12-03 11:17:15.341Z |
Lista 2/04 - Exercício 4 Dada uma função contínua $f: X \rightarrow Y$, denote por $$Gr(f) = \{(x,f(x))\ |\ x \in X \}$$ o gráfico de f. E por \begin{align*} gr(f): X &\rightarrow X \times Y \\ x &\mapsto (x,f(x)) \end{align*} a função gráfico. Mostre que $gr(f)$ é um homeom... | Exercícios da lista | MRM | 4 | 2021-12-15 18:38:22.041Z |
Demonstração relâmpago: compacidade de $[a,b]$. O teorema de sub-base de Alexander diz que um espaço topológico $X$ com uma sub-base $\mathcal{C}$ é compacto quando toda cobertura $\mathcal{A} \subset \mathcal{C}$ possuir subcobertura finita. Sabemos que os conjuntos da forma $(-\infty, x)$ e $(y,... | Desafio | AJA | 2 | 2022-01-08 03:52:43.927Z |
Lista 2/01 - Exercício 2 Seja $X$ um conjunto não enumerável, considere a topologia discreta $\tau$ e a topologia co-enumerável $\gamma$. Mostre que a identidade \begin{align*} f: (X,\gamma) &\rightarrow (X,\tau) \\ x &\mapsto x \end{align*} não é contínua, mas é sequencialm... | Exercícios da lista | GJA | 2 | 2021-12-11 18:00:56.844Z |
Etapas do trabalho final Prezad@s, O trabalho final deverá ser apresentado em etapas. Em cada etapa, vou ler o que você fez e fazer comentários e sugestões. Se você já estiver mais adiantado com o trabalho, é claro que você não precisa desfazer o que está feito. Apenas se ce... | Trabalho final | A | 0 | 2022-01-01 22:13:29.167Z |
Lista 2/05 - Exercício 3 O verdadeiro cubo de Hilbert é na realidade o conjunto: $$ C= \prod_{n\in \mathbb{N}} [0,1/n] = [0,1] \times [0,1/2] \times ... \times [0,1/n] \times ... $$ No entanto, ele é homeomorfo ao conjunto $X=[0,1]^{\mathbb{N}}$ (ou seja, do ponto de vista t... | Exercícios da lista | RAA | 3 | 2021-12-18 14:42:05.748Z |
Lista 1/02 - Exercício 11 Seja $A \subset \mathbb{R}$, onde $\mathbb{R}$ é munido da métrica induzida pelo valor absoluto $$ \begin{align*} d : \mathbb{R} \times \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ (x,y) & \mapsto |y - x| \end{align*} $$ Descreva da melhor forma possível, ... | Resolução Completa |  RA | 4 | 2021-12-09 13:30:47.047Z |
Lista 2/02 - Exercício 2 Mostre que se um espaço topológico é $T_3$, então dados dois pontos distintos $a$ e $b$, existem vizinhanças fechadas de $a$ e $b$ que são disjuntas. | Exercícios da lista | GJRA | 7 | 2021-12-20 11:46:53.134Z |
Lista 2/05 - Exercício 2.3 Seja $C([a,b])$ o espaço das funções contínas $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ munido da topologia produto. Mostre que a aplicação à seguir é contínua: \begin{align*} \phi : C([3,5]) &\rightarrow C([-3,6]) \\ f &\mapsto \begin{array}[t]{lrl} \phi(f)... | Exercícios da lista | MAT | 6 | 2021-12-19 20:02:05.573Z |
Prova 1 - Verão/2020 - Questão 6.2 Essa questão pede para mostrar que se $f,g :X \to Y$ são contínuas e $Y$ é Hausdorff, então $$ B = \{ x \in X \ | \ f(x) = g(x) \} $$ é fechado. Eu tentei mostrar que se $x \notin B$, então $x \notin \overline{B}$, mas não sei se concluí certo. Segue... | Resolução Completa | A | 9 | 2022-01-06 14:45:00.040Z |