Curso online de Topologia Geral do departamento de matemática da Universidade de Brasília, ministrado pelo professor André Caldas (@andrecaldas).
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http://mat.unb.br/andrec/ensino/topologia_online/
| Tópicos, mais recentemente ativo primeiro | Categoria | Usuários | Respostas | Atividade |
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Lista 2/05- Exercício 5 O verdadeiro cubo de Hilbert é da forma: $$\Omega = [0, 1] \times [0, 1/2] \times [0, 1/3] \times [0, 1/4] \times [0, 1/5] \times \dotsb$$ Mostre que a topologia produto no cubo de Hilbert é dada pela métrica do supremo. | Exercícios da lista | VRAT | 6 | 2021-12-21 15:13:53.358Z |
Dúvidas Bom dia, professor. Na página Overleaf. quando eu estiver digitando o trabalho, preciso compartilhar com o senhor? E todas as dúvidas relacionadas a demonstração/execução do trabalho devem ser feitas nesse tópico que o senhor criou? | Trabalho final | V A | 5 | 2021-12-20 13:54:05.367Z |
Lista 2/05 - Exercício 8 Este exercício mostra um exemplo de um sistema dinâmico definido na reta real (vista como subconjunto do círculo unitário) que não pode ser estendido continuamente a todo o círculo. Seja $S\subset \mathbb{C}$ o círculo unitário e $S'=S\setminus \{1\}... | Exercícios da lista | RMA | 4 | 2021-12-21 22:52:15.976Z |
Trabalho final Prezad@s, Cada estudante tem interesses diferentes. Ao invés de escolher um único tema e impor a todos, decidi por dar a cada um a oportunidade de escrever sobre um tema dentre várias opções. A ideia não é simplesmente escrever uma demonstração. O ob... | Trabalho final | ADJMA | 66 | 2021-12-24 04:03:22.229Z |
Mergulho num espaço produto Li uma coisa interessante no livro do Munkres e resolvi um exercício relacionado que acredito ser de interesse. Seja $f:X \to Y$ uma função injetiva e contínua e denote por $Z$ o conjunto $f(X)$. Veremos $Z$ como um subespaço de $Y$ (consideramos a r... | Dúvidas sobre exercícios | M2A | 3 | 2021-12-20 02:30:27.753Z |
Lista 2/04 - Exercício 3 Mostre que se $ X $ e $ Y$ são Hausdorff, então $X \times Y$ também é. | Exercícios da lista | J2AV | 3 | 2021-12-17 23:54:47.776Z |
Lista 2/04- Exercício 7 Dê um exemplo de uma função que seja descontínua, mas que tenha o gráfico fechado. | Exercícios da lista | VR | 1 | 2021-12-20 14:12:42.092Z |
Lista 2/05 - Exercício 2.3 Seja $C([a,b])$ o espaço das funções contínas $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ munido da topologia produto. Mostre que a aplicação à seguir é contínua: \begin{align*} \phi : C([3,5]) &\rightarrow C([-3,6]) \\ f &\mapsto \begin{array}[t]{lrl} \phi(f)... | Exercícios da lista | MAT | 6 | 2021-12-19 20:02:05.573Z |
Lista 2/05 - Exercício 7 Seja $S \subset \mathbb{C}$ o círculo unitário. E seja $ S' = S \setminus {1} $. Considere $\Omega$, o espaço de todas as funções contínuas $f : S' \rightarrow S.$ Mostre que $ S'$ é homeomorfo a um subespaço de $S^{\Omega}$. Ou seja, mostre que exis... | Exercícios da lista | DRGA | 13 | 2021-12-22 13:14:31.784Z |
Lista 2/05 - Exercício 3 O verdadeiro cubo de Hilbert é na realidade o conjunto: $$ C= \prod_{n\in \mathbb{N}} [0,1/n] = [0,1] \times [0,1/2] \times ... \times [0,1/n] \times ... $$ No entanto, ele é homeomorfo ao conjunto $X=[0,1]^{\mathbb{N}}$ (ou seja, do ponto de vista t... | Exercícios da lista | RAA | 3 | 2021-12-18 14:42:05.748Z |
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Lista 2/05 - Exercício 4 A topologia produto no cubo $\Omega = [0,1]^{\mathbb{N}}$ é metrizável, isto é, existe uma métrica em $\Omega$ que gera sua topologia. Encontre uma tal métrica e responda, do ponto de vista topológico, qual é a relação entre esse métrica e a do supremo. | Exercícios da lista | TAR | 7 | 2021-12-19 13:08:13.370Z |
Lista 2/05 - Exercício 1 Mostre que se $X_{\lambda}$ ($\lambda \in \Lambda$) são espaços de Hausdorff, então $$X = \prod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda}$$ também é Hausdorff. | Exercícios da lista | GR | 1 | 2021-12-17 12:43:38.366Z |
Lista 2/04 - Exercício 9 Mostre que nem sempre a projeção $$ \pi_1: X \times Y \rightarrow X $$ é fechada. | Exercícios da lista |  ART | 6 | 2021-12-16 14:41:52.182Z |
Aula-15/12/2021- Video- Produto de Duas Topologias Mostre que a função $$det: (\mathbb{R}^{n})^{n} \rightarrow\mathbb{R}$$ $$M\mapsto det(M)$$ é continua na topologia produto. View on YouTube | Dever de casa dos vídeos | DARM2 | 3 | 2021-12-20 01:37:55.271Z |
Aula-15/12/2021- Video- Produto de Duas Topologias Formalize a demonstração do seguinte exemplo: (Operação de soma de dois números Reais) A função $S: \mathbb{R}\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $S(x,y)=x+y$ é contínua na topologia produto. View on YouTube | Dever de casa dos vídeos | DAT | 7 | 2021-12-19 13:10:14.100Z |
Lista 2/04 - Exercício 4 Dada uma função contínua $f: X \rightarrow Y$, denote por $$Gr(f) = \{(x,f(x))\ |\ x \in X \}$$ o gráfico de f. E por \begin{align*} gr(f): X &\rightarrow X \times Y \\ x &\mapsto (x,f(x)) \end{align*} a função gráfico. Mostre que $gr(f)$ é um homeom... | Exercícios da lista | MRM | 4 | 2021-12-15 18:38:22.041Z |
Duas bases que geram a mesma topologia em $\mathbb{R}$ Vi este exercício no Munkres. Mostrar que as famílias $$\mathcal{B} = \{(a,b) : a<b, a,b \in \mathbb{R}\}$$ e $$\mathcal{B}' = \{(a,b) : a<b, a,b \in \mathbb{Q}\}$$ geram a mesma topologia (padrão) em $\mathbb{R}$. Eu procedi assim: Denote por $\tau(... | Ideas | M2A | 1 | 2021-12-15 13:20:56.214Z |
Lista 2/04 Exercício 5 Dada uma função contínua $f: X \rightarrow Y$. Mostre que se $Y$ é de Hausdorff, então o gráfico de $f$ é fechado em $X \times Y $. Lembrando: o gráfico de uma aplicação contínua $f$ é $G(f) = \{ (x, f(x)) \in X \times Y \mid x \in X \}$. | Exercícios da lista | J2EM2A | 9 | 2022-01-08 18:08:33.236Z |
Lista 2/04 Exercício 10 Suponha que $X$ e $Y$ sejam tais que a projeção $$\pi_{1}:X\times Y \rightarrow X$$ é fechada. Mostre que se $f:X \rightarrow Y$ tem o gráfico fechado, então $f$ é contínua. | Exercícios da lista | EAM2 | 13 | 2022-01-08 18:12:33.741Z |
Lista 2/01 - Exercício 1 (5.2.4 apostila) Considere $f : (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y )$. Se $F$ é uma família geradora da topologia $τ_X$, então, $f$ é aberta se, e somente se, $f(F) \subseteq \tau_Y$ . | Dúvidas sobre exercícios | M2AM2 | 11 | 2021-12-16 16:57:06.435Z |
Lista 2/04 - Exercício 2 Em um espaço vetorial topológico $E$, um conjunto $D \subset E$ é chamado de convexo quando é fechado por combinações convexas. Ou seja, quando para quaisquer $\alpha, \beta \in [0, 1]$ tais que $\alpha + \beta = 1$, e quaisquer $x, y \in D$, $$\alph... | Exercícios da lista | GRA | 5 | 2021-12-15 14:00:54.760Z |
Lista 2/04 - Exercício 8 Mostre que a projeção $$ \pi_1: X\times Y\to X $$ é aberta. | Exercícios da lista | EA | 6 | 2022-01-02 15:45:44.830Z |
Lista 2/04 - Exercício 1 Neste exercício vemos que o produto cartesiano comuta com a operação de fecho, mais precisamente: Sejam $(X,\tau)$ e $(Y,\eta)$ dois espaços topológicos e considere o produto cartesiano $X \times Y$ munido da topologia produto. Dados $A \subset X$ e ... | Exercícios da lista | REA | 8 | 2021-12-30 01:54:19.733Z |
Lista 2/01 Exercício 5.7.a) Para cada um dos casos abaixo, mostre que $(X,\tau)$ é uma topologia. Compactificação por um Ponto dos Reais. Seja $X=\mathbb{R}\cup \{\bigstar\}$. Denote a topologia usual dos reais por $\gamma$. a)$\tau=\gamma \cup \left\{\{\bigstar\} \cup F^{\comp... | Exercícios da lista | EME | 2 | 2022-01-02 13:27:55.361Z |
Lista 2/01 Exercício 5.3 c) Para cada um dos casos abaixo, mostre que $(X, τ )$ é uma topologia. $$X=\left\{x\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \ | \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}|x_{n}| < \infty \right\}.$$ c) Considere a família $$\mathscr{B}=\left\{(a_{0},b_{0})\times\cdots\times(a_{n... | Exercícios da lista | EAE | 4 | 2021-12-15 11:50:22.009Z |
Lema de Urysohn- demonstração Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico $T_4$. Sejam $F,G \subset X$ fechados disjuntos. Então existe uma função contínua $f: X \rightarrow [0,1]$ tal que, para todo $x \in F$, $f(x)=0$ e, para todo $y \in G$, $ f(y) = 1$. **Demonstração: ** Seja $\{ q... | Lema de Urysohn | DA | 4 | 2021-12-20 12:41:46.922Z |
Lista 2/03 Exercício 3 Mostre que $B= \{\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^{\ast} \}$ NÃO é aberto e nem fechado em $\mathbb{Q}$ | Exercícios da lista | VEA | 4 | 2021-12-30 03:47:38.698Z |
Prova do Lema de Urysohn Antes de enunciar e provar o Lema de Urysohn, vamos provar o seguinte: Lema 1: Sejam $(X,\tau)$ um espaço topológico normal, $F \subset X$ um conjunto fechado e $A$ um aberto tal que $F \subset A$. Então existe $U \in \tau$ tal que $$F \subset U \sub... | Lema de Urysohn | TAT | 2 | 2021-12-16 11:18:24.302Z |
O que é topologia inicial? Atenção: esse post é um exemplo de como eu acho que deveriam ser as perguntas feitas por pessoas que estão tendo um pouco de dificuldade em acompanhar o curso. Quem quiser dar um exemplo de resposta, fique à vontade. Pessoal, no vídeo abaixo, o profe... | Dúvidas sobre os vídeos | A | 0 | 2021-12-14 18:37:28.599Z |
[Lista 2/03 - Exercício 12] Teorema de Hahn-Banach para mostrar o Teorema de Mazur Seja $(E,||.||)$ um espaço vetorial normado de dimensão infinita. Dizemos que $E$ é um espaço de Banach quando toda sequência de Cauchy em $E$ é convergente. Em $E$ está definida a topologia da norma, porém ela apresenta bastante limitações quando se... | Série A | RA | 2 | 2021-12-14 16:58:22.746Z |
Lista 2/01 Exercício 5.5 Mostre que $\tau$ é uma topologia. Seja $X$ um conjunto não enumerável. Por exemplo, $X = \mathbb{R}$. (a) $\tau = \{ \emptyset \} \cup \{ A \subset X \mid A^c \ \mbox{é finito} \}$ (b) $\tau = \{ \emptyset \} \cup \{ A \subset X \mid A^c \ \mbox{é e... | Exercícios da lista | J2JA | 8 | 2021-12-18 00:00:06.935Z |
Lista 2/02- Exercício 5 Seja $(X, d)$ um espaço métrico. Dado um fechado $F \subsetneq X$, mostre que a função $$\begin{array}{rrcl} d_F :& X &\rightarrow& R \ \newline & x & \mapsto & \inf d(x, F) \end{array}$$ é contínua. Tome $a \in X \ F$, utilize $d_F$ para construir u... | Exercícios da lista | DJAR | 4 | 2022-01-10 08:31:03.221Z |
Lista 2/03 - Exercício 10 Seja $(E,||.||)$ um espaço vetorial normado de dimensão infinita. Considere a topologia fraca em $E:\ \tau_w$. Ou seja, a topologia inicial gerada pelas funcionais lineares que são contínuos (na topologia da norma). Mostre que todo aberto fraco não v... | Exercícios da lista | MGA | 7 | 2021-12-15 15:15:24.804Z |
Lista 2/03 - Exercício 6 Seja $q_n\in\mathbb{Q}$ tal que $q_n\to\sqrt{2}$. Mostre que $B_n = \{ q_n \ | \ n\in\mathbb{N}^* \}$ é clopen em $$ X = \{ m + q_n \ | \ m\in\mathbb{N}, n\in\mathbb{N}^* \}. $$ | Exercícios da lista | | 0 | 2021-12-14 12:57:44.380Z |
Demonstração que $\tau^f = \{ A\subset X \ | \ f^{-1}(A)\in\tau \}$ é topologia, sendo $f:(Y, \tau)\to X$. Note que $\emptyset$ e $X$ pertencem a $\tau^f$ pois $f^{-1}(\emptyset)=\emptyset\in\tau$ e $f^{-1}(X) = Y\in\tau$. Além disso, dados $A,B\in X$ tais que as imagens inversas pertencem a $\tau$, ou seja, dados $A,B\in\tau^f$, temos que $f^{-1}(A\cap B... | Ideas | A | 1 | 2021-12-14 13:00:28.114Z |
Lista 2/03 - Exercício 2 Em um espaço topológico, um conjunto pode ser aberto e fechado ao mesmo tempo. Neste caso, alguns gostam de dizer que o conjunto é clopen. Em $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, mostre que $[a,b) \cap \mathbb{Q}$ é clopen em $\mathbb{Q}$ se, e somente s... | Exercícios da lista | GAJR | 16 | 2021-12-15 13:23:07.414Z |
Lista 2/03 - Exercício 11 Considere a norma do máximo $\| \cdot \|_\infty$ em $\mathbb{R}^n$ (na verdade, o exercício funciona com qualquer norma em $\mathbb{R}^n$, pois todas são equivalentes). Mostre que a topologia fraca em $(\mathbb{R}^n, \|\cdot\|_\infty)$ é igual à topo... | Exercícios da lista | JA | 13 | 2021-12-18 13:08:49.256Z |
Lista 2/03 - Exercício 7 Este exercício pretende obter uma relação entre os fechados de um subespaço topológico com os fechados do espaços maior. Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico e $Y\subset X$ um subespaço topológico de $X$ munido da topologia induzida. Dado $F \subset ... | Exercícios da lista | RJA | 2 | 2021-12-17 05:49:09.047Z |
Lista 2/01 Exercício 6.3 Topologia usada por Furstenberg pra demonstrar que existem infinitos primos. $X = \mathbb{Z}$. E os abertos são, além do vazio, as uniões de conjuntos da forma $$ S(a,b)= \{an+b \mid n \in \mathbb{Z}\}$$ | Exercícios da lista | VJA | 21 | 2021-12-16 18:33:01.654Z |
Demonstração - Lema de Urysohn Lema de Urysohn: Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico normal e sejam $F,G \subset X$ fechados disjuntos. Então existe $f: X \to [0,1]$ contínua tal que $f\equiv 0$ em $F$ e $f\equiv 1$ em $G$. Demonstração: Desde que $F$ e $G$ são fechados disjuntos,... | Lema de Urysohn | R | 0 | 2021-12-13 20:22:04.338Z |