Curso online de Topologia Geral do departamento de matemática da Universidade de Brasília, ministrado pelo professor André Caldas (@andrecaldas).
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http://andrec.mat.unb.br/ensino/topologia_online/
| Tópicos, mais recentemente ativo primeiro | Categoria | Usuários | Respostas | Atividade |
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Possíveis topologias em um conjunto Determine todas as possíveis topologias em $X = \{a,b,c\}$. Este é um ótimo exercício para treinar a definição de topologia. | Desafio | TR | 5 | 2021-12-10 17:07:01.503Z |
Lista 1/02 - Exercício 8 Sejam $(X,d)$ e $(Y,m)$ espaços pseudo-métricos, com $m = 0$. Exatamente quando é que funções $f: X \rightarrow Y$ e $g: Y \rightarrow X$ são contínuas? | Exercícios da lista | MG | 1 | 2021-12-10 14:10:27.349Z |
Lista 1/02 Exercício 7. Sejam $(X, d)$ e $(Y, m)$ espaços pseudo-métricos, onde $m$ é a métrica discreta em $Y$. Exatamente quando é que funções $f : X \rightarrow Y$ e $g : Y \rightarrow X$ são contínuas? | Exercícios da lista | VJ | 2 | 2021-12-10 14:02:12.447Z |
Lista 2/01 - exercício 3 Seja $X$ um espaço topológico qualquer e, $Y$ um espaço topológico discreto. Mostre que se $$f: X \rightarrow Y$$ é contínua, então os subconjuntos de $X$ da forma $f^{-1}(y)$ são abertos e fechados (clopen) ao mesmo tempo! | Exercícios da lista | DR | 1 | 2021-12-10 12:48:14.090Z |
Lista 1/02 - Exercício 11 Seja $A \subset \mathbb{R}$, onde $\mathbb{R}$ é munido da métrica induzida pelo valor absoluto $$ \begin{align*} d : \mathbb{R} \times \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ (x,y) & \mapsto |y - x| \end{align*} $$ Descreva da melhor forma possível, ... | Resolução Completa |  RA | 4 | 2021-12-09 13:30:47.047Z |
Todos os axiomas Mostre que o processo descrito no vídeo https://www.youtube.com/watch?v=ryM3P78Fh8s garante o sistema $\mathcal{V}_x$ construído satisfaz os 5 axiomas para que seja considerado um sistema de vizinhanças de uma topologia. $\emptyset \neq \mathcal{V}_x... | Desafio | A | 0 | 2021-12-09 12:42:18.883Z |
Lista 1/02 - Exercício 5 Sejam $(X,d)$ e $(Y,m)$ espaços pseudo-métricos. Seja $a\in Y$ um elemento fixado de $Y$. Exatamente quando é que a função constante $$ \begin{align*} f : X & \rightarrow Y \\ x & \mapsto a \end{align*} $$ é contínua? | Exercícios da lista | EJAM | 4 | 2021-12-09 12:12:03.292Z |
Lista 1/02 - Exercício 04 Mostre que \begin{align*} f: \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R} \\ x &\mapsto \begin{cases} x \sin \left( \frac{1}{x} \right), &x \neq 0 \\ 0, &x = 0 \end{cases} \end{align*} é contínua em $0$. | Exercícios da lista | GAV | 10 | 2021-12-09 12:05:45.585Z |
Lista 1/04 - Exercício 10 - [CONTRA-EXEMPLO] Um conjunto que é sequencialmente fechado mas que não é fechado Acredito que tenham vários contra-exemplos, mas um que achei muito interessante foi do Primeiro Ordinal Não-Enumerável (tradução livre para First Uncountable Ordinal). Números ordinais são ferramentas para quantificar a cardinalidade de um conjunto, ... | Exercícios da lista | RA | 1 | 2021-12-08 21:27:56.356Z |
Bolas abertas fechadas Série B É possível que bolas abertas sejam fechadas? Defina um espaço métrico em que isso ocorre (a escolha do espaço é livre). Existem várias respostas possíveis. Um desafio é que o espaço seja o mais simples possível. Outro, é que seja um espaço co... | Série B | MHV E | 19 | 2021-12-08 21:09:47.212Z |
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Dúvidas e Sugestões - Apostila Tomei a liberdade de criar este tópico para que possam ser debatidas dúvidas sobre a apostila ou quem sabe até fazer um comentário complementando algo dela. | General | RMGAE | 16 | 2021-12-08 21:04:04.877Z |
Lista 1/04 - Exercício 2.2 Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Dado um ponto $a\in X$, considere a família de vizinhanças de $a$, $$\mathscr{V}(a)=\left\{V\subset X| \ \exists \ \varepsilon>0, \ B_{(\varepsilon)}(a) \subset V\right\}.$$ Explique porque a família a seguir, dependen... | Exercícios da lista | E | 0 | 2021-12-08 19:51:28.877Z |
Lista 1/03 = Exercício 1.3 Para os casos a seguir, verifique que os sistemas de vizinhanças descritos definem uma topologia. Ou seja, verifique que satisfazem os axiomas de 1 a 5 descritos na vídeo aula. Tente descrever em português o significado de $x\in\overline{B}$ em cada ... | Exercícios da lista | JRA | 3 | 2021-12-08 13:54:05.458Z |
DEFINIÇÃO DE FILTRO Estou com dúvida em relação a definição de filtro. Esse conceito é o mesmo que base de vizinhanças de um ponto? | Dúvidas | TA | 3 | 2021-12-08 13:50:15.998Z |
Lista 1/02 - Exercício 10 - versão 1 Resolvi postar esse exercício pois sua formulação está incorreta. Os conjuntos $X$ e $Y$ precisam ser os mesmos. Seja $X$ um conjunto qualquer e $p,q: X \times X \to [0,+\infty)$ duas métricas em $X$. Mostre que as métricas abaixo definem os mesmos s... | Exercícios da lista | RA | 3 | 2021-12-08 13:02:54.436Z |
Lista 1/03 - Exercício 1.4 Para os casos a seguir, verifique que os sitemas de vizinhanças descritos definem uma topologia. Ou seja, verifique que satisfazem os axiomas de 1 a 5 descritos na vídeo aula. Tente descrever em português o significado de $x \in \overline{B}$ em cada... | Exercícios da lista | TA | 1 | 2021-12-08 13:01:42.669Z |
ERRO NO EXERCÍCIO 2 DA LISTA 1/02 ? Exercício 2 - Lista 1/02: Mostre que a função $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = 0$ se $x \in \mathbb{Q}$ e $f(x) = x,$ se $x \not\in \mathbb{Q}$, é contínua na topologia usual de $\mathbb{R}$. Acredito que tal função não é contí... | Notas de Aula | TA | 1 | 2021-12-08 12:57:11.718Z |
Lista 1/04 - Exercício 4 Este exercício propõe estabelecer uma condição suficiente para uma propriedade que é apresentada lá no primeiro curso de Análise e ainda é válida para alguns espaços mais gerais. Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico tal que para todo $x \in X$ existe... | Exercícios da lista | RJTA | 15 | 2021-12-08 12:55:52.136Z |
Lista 1/02 - Exercício 1 - (Exercício 2.3.1 do livro) Em um espaço métrico $X$, dado $x \in X$, dizemos que $V \subset X$ é uma vizinhança de $x$ quando existir uma bola $B_{\epsilon}(x)$ tal que $B_{\epsilon}(x) \subset V$. Vamos denotar por $\mathcal{V}(x)$ a família de todas as vizinhanças de $x$. Mo... | Exercícios da lista | TDM | 5 | 2021-12-08 12:47:40.850Z |
Lista 1\02 - Exercício 2 Mostre que na topologia usual de $\mathbb{R}$, $$ \begin{align*} f: \mathbb{R} &\rightarrow \mathbb{R} \\ x& \mapsto \begin{cases} x,& se\ x \not\in \mathbb{Q} \\ 0 ,& se \ x \in \mathbb{Q} \end{cases} \end{align*} \\ $$ é contínua em 0 e descontínua... | Exercícios da lista | TAR | 5 | 2021-12-07 22:48:13.800Z |
Lista 1/04 - Exercicio 6 Nas mesmas condições do exercício 5, mostre que f é contínua em todo ponto se, e somente se, \begin{equation*} f^{-1}(\tau_{Y}) \subset \tau_{X} \end{equation*} Dica: Sua resposta será mais elegante se utilizar, não apenas as hipóteses, mas também o ... | Exercícios da lista | HAA | 7 | 2021-12-07 20:14:28.548Z |
Lista 1/04 - Exercício 7 Seja $X$ um espaço topológico onde determinado ponto $x \in X$ é tal que $\mathscr{V}(x)$ tem uma base enumerável $$ \mathscr{B} = \{B_1,B_2,...\}. $$ Mostre que $x$ possui uma base de vizinhanças encaixadas. Ou seja, uma base de vizinhanças $$\maths... | Exercícios da lista | MAM | 3 | 2021-12-07 18:16:08.011Z |
Lista 1/03 - Exercício 3 Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Considere o conjunto $X^2$ com a métrica do máximo \begin{align*} m:X^2\times X^2&\rightarrow \mathbb{R}\\ (a,b)&\mapsto \max(d(a_1,b_1),d(a_2,b_2)) \end{align*} Mostre que a diagonal \begin{align*} \bigtriangleup =\{ ... | Exercícios da lista | JGA | 4 | 2021-12-07 16:19:45.976Z |
Lista 1/04 - Exercício 11 Considere a topologia usual em $\mathbb{R}$. Mostre que $$ \mathscr{B} = \left\{ \left[ \sqrt{2} - \frac{4}{n^2+1}, \sqrt{2} + \frac{1}{n} \right] \ \Bigg | \ n\in\mathbb{N}^* \right\} $$ é uma base de vizinhanças para o ponto $\sqrt{2}$. | Exercícios da lista | AR | 3 | 2021-12-07 15:05:33.147Z |
Lista 1/04 - Exercício 2 .1 Seja $(X, d)$ um espaço métrico. Dado um ponto $a\in X$, considere a família de vizinhanças de $a$, $$\mathscr{V}(a)=\{V\subseteq X \mid \exists\varepsilon>0,B_\varepsilon(a)\subseteq V\}.$$ Explique por que a família a seguir, dependendo da métrica ... | Exercícios da lista | A | 0 | 2021-12-07 15:04:03.121Z |
Espaço das Funções Lipschitzianas Seja $X$ um conjunto qualquer não-vazio e $d_1, d_2 : X \times X \to [0,+\infty)$ duas métricas em $X$. Para $i=1,2$, defina: $$ L_i = \{ f : X \to X : f \ \mbox{é Lipschitz com relação à métrica} \ d_i \} $$ Em outras palavras, $f \in L_i \iff \exis... | Desafio | RJA | 7 | 2021-12-07 14:31:59.421Z |
Lista 2/ 03 Mostre que $$ \begin{align*} f: \mathbb{R} &\rightarrow \mathbb{R} \\ x& \mapsto \begin{cases} sen(\frac{1}{x}),& se\ x \neq 0 \\ 0 ,& se \ x=0 \end{cases} \end{align*} \\ $$ é descontínua em 0 | Exercícios da lista | JM2A | 6 | 2021-12-07 14:22:38.967Z |
Lista 1/01 - Exercício 2- 16 Para cada espaço métrico ( ou pseudo-métrico) $(X,d)$ a seguir, descreva, da forma que achar mais interessante, as sequências convergentes, as bolas, as vizinhanças de um ponto e os abertos. Se $X=[0,1 ]^{\mathbb{N}^*}$ e $$\begin{array}{rcl} d: & X ... | Exercícios da lista | DAD | 2 | 2021-12-07 13:32:56.922Z |
Lista 1/04 - Exercício 3 Utilizando as bases do exercício 1 da Lista 1/04 escreva definições de continuidade alternativas e bizarras — que substituam aquelas tradicionais com $\epsilon$ e $\delta$ para $f : X \rightarrow Y$ , onde $X$ e $Y$ são espaços métricos. Dica: pra fi... | Exercícios da lista | T | 0 | 2021-12-07 13:10:58.125Z |
Lista 1/03 - Exercício 2 Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Dado um ponto $a\in X$, considere a família de vizinhanças de $a$, $$ \mathscr{V}(a) = \{ V\subset X \ \Big| \ \exists\varepsilon > 0, B_{\varepsilon}(a)\subset V \}. $$ Mostre que $\mathscr{V}(a)$ é um filtro. Ou seja... | Exercícios da lista | JA | 6 | 2021-12-07 12:43:53.501Z |
Lista 1/03 - Exercício 4 Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. E seja $F\subset X$ um conjunto fechado. Mostre que se $x_n \in F$ converge para $a$, então $a \in F$. | Exercícios da lista | J2J | 1 | 2021-12-07 03:59:41.941Z |
Lista 1/01- Exercício 1 - ( Exercício 1.3.1 do livro texto) Olá, para verificar a terceira propriedade desse exercício( desigualdade triangular), me deparei com a seguinte situação: $$max\lbrace d_A(a_1,a_3), d_B(b_1,b_3)\rbrace \leq max\lbrace d_A(a_1,a_2), d_B(b_1,b_2)\rbrace + max\lbrace d_A(a_2,a_3), d_B(... | Dúvidas | SJ | 1 | 2021-12-07 00:22:15.069Z |
Translação é contínua Seja $(E, \|\cdot\|)$ um espaço vetorial normado, e seja $a \in E$ um ponto qualquer. Mostre que a transformação $$ \begin{align*} S_a: E &\rightarrow E \\ v &\mapsto a + v \end{align*} $$ é inversível, contínua e sua inversa também é contínua. PS: U... | Série B | AM2E | 13 | 2021-12-06 23:38:05.892Z |
Lista 1/02 - Exercício 9 Sejam $||\cdot||_1$ e $||\cdot||_2$ duas normas definidas no conjunto $X$, diremos que essas duas normas são equivalentes quando existem $\alpha,\beta>0$ tais que para todo $x\in X$ temos $$\alpha ||x||_1\leqslant ||x||_2 \leqslant \beta ||x||_1$$ O ... | Exercícios da lista | AA | 5 | 2021-12-06 22:23:10.765Z |
Lista 1/02 - Exercício 12 Seja $A \subset \mathbb{Q}$, onde $\mathbb{Q}$ é munido da métrica induzida dos reais \begin{align*} d: \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} &\rightarrow \mathbb{R} \\ (p,q) &\mapsto |q - p| \end{align*} Descreva da melhor forma possível, quando é que a funç... | Exercícios da lista | MTAJ | 3 | 2021-12-06 21:32:04.044Z |
Lista 1/03 - Exercício 1.1 Para o caso a seguir, verifique que o sistema de vizinhança descrito define uma topologia. Ou seja, verifique que satisfaz os axiomas de 1 a 5 descritos na vídeo aula. Tente descrever em português o significado de $x \in \overline{B}$ nessa topologia... | Exercícios da lista | DJAA | 12 | 2021-12-06 21:09:53.800Z |
Lista 1/03 - Exercício 6 Sejam $X$ e $Y$ espaços topológicos. Suponha que cada ponto $x\in X$ é tal que $\mathscr{V}(x)$ tem uma base enumerável $$ \mathscr{B}_x = \{ B_1(x), B_2(x), \dots \}. $$ Nesse caso, se $f$ é sequencialmente contínua, ou seja, $$ x_n\to a \implies f(... | Exercícios da lista | A | 1 | 2021-12-06 19:16:21.791Z |
Lista1/02- Exercício 13 Considere o conjunto $X= \mathbb{N}^* \cup {\infty}$, munido da métrica $$ \begin{array}{rccl} d : & X \times X & \rightarrow & \mathbb{R} \newline & (x,y) & \mapsto & \mid \frac{1}{y} - \frac{1}{x} \mid \end{array}$$ em que $\frac{1}{\infty} = 0$. D... | Exercícios da lista | D | 0 | 2021-12-06 19:14:41.350Z |
Translação de normas Série B Suponha que $\|\cdot\|$ é uma norma em $\mathbb{R}^n$. Mostre que, na topologia da norma, para qualquer $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$, $$ \mathcal{V}(\vec{a}) = \vec{a} + \mathcal{V}(\vec{0}). $$ Onde, a notação $\vec{a} + \mathcal{V}(\vec{0})$ ... | Série B | ARM2A | 4 | 2021-12-06 14:42:41.844Z |
Lista 1/03 Exercício 5 Sejam $X$ e $Y$ espaços topológicos. Mostre que se $f : X \rightarrow Y$ é contínua, então, para $x_{n} \in X$, $$x_{n} \rightarrow a \Rightarrow f(x_{n}) \rightarrow f(a)$$. | Exercícios da lista | VAR | 3 | 2021-12-06 14:23:31.590Z |