Topologia Geral - professor André Caldas

Curso online de Topologia Geral do departamento de matemática da Universidade de Brasília, ministrado pelo professor André Caldas (@andrecaldas).

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Mergulho num espaço produto Li uma coisa interessante no livro do Munkres e resolvi um exercício relacionado que acredito ser de interesse. Seja $f : X \to Y$ uma função injetiva e contínua e denote por $Z$ o conjunto $f (X)$ . Veremos $Z$ como um subespaço de $Y$ (consideramos a r...	Dúvidas sobre exercícios	M A	3	2021-12-20 02:30:27.753Z
Aula-15/12/2021- Video- Produto de Duas Topologias Mostre que a função $d e t : (R^{n})^{n} \to R$ $M \mapsto d e t (M)$ é continua na topologia produto. View on YouTube	Dever de casa dos vídeos	D A R M	3	2021-12-20 01:37:55.271Z
Lista 2/05 - Exercício 2.3 Seja $C ([a, b])$ o espaço das funções contínas $f : [a, b] \to R$ munido da topologia produto. Mostre que a aplicação à seguir é contínua: \begin{align*} \phi : C([3,5]) &\rightarrow C([-3,6]) \ f &\mapsto \begin{array}[t]{lrl} \phi(f)...	Exercícios da lista	M2 A T	6	2021-12-19 20:02:05.573Z
Aula-15/12/2021- Video- Produto de Duas Topologias Formalize a demonstração do seguinte exemplo: (Operação de soma de dois números Reais) A função $S : R \times R \to R$ dada por $S (x, y) = x + y$ é contínua na topologia produto. View on YouTube	Dever de casa dos vídeos	D A T	7	2021-12-19 13:10:14.100Z
Lista 2/05 - Exercício 4 A topologia produto no cubo $Ω = [0, 1]^{N}$ é metrizável, isto é, existe uma métrica em $Ω$ que gera sua topologia. Encontre uma tal métrica e responda, do ponto de vista topológico, qual é a relação entre esse métrica e a do supremo.	Exercícios da lista	T A R	7	2021-12-19 13:08:13.370Z
Lista 2/05 - Exercício 3 O verdadeiro cubo de Hilbert é na realidade o conjunto: $C = \prod_{n \in N} [0, 1 / n] = [0, 1] \times [0, 1 / 2] \times . . . \times [0, 1 / n] \times . . .$ No entanto, ele é homeomorfo ao conjunto $X = [0, 1]^{N}$ (ou seja, do ponto de vista t...	Exercícios da lista	R A A	3	2021-12-18 14:42:05.748Z
Lista 2/03 - Exercício 11 Considere a norma do máximo $‖ \cdot ‖_{\infty}$ em $R^{n}$ (na verdade, o exercício funciona com qualquer norma em $R^{n}$ , pois todas são equivalentes). Mostre que a topologia fraca em $(R^{n}, ‖ \cdot ‖_{\infty})$ é igual à topo...	Exercícios da lista	J A	13	2021-12-18 13:08:49.256Z
Lista 2/01 Exercício 5.5 Mostre que $τ$ é uma topologia. Seja $X$ um conjunto não enumerável. Por exemplo, $X = R$ . (a) $τ = {\emptyset} \cup {A \subset X ∣ A^{c} é finito}$ (b) $\tau = \{ \emptyset \} \cup \{ A \subset X \mid A^c \ \mbox{é e...	Exercícios da lista	J2 J A	8	2021-12-18 00:00:06.935Z
Lista 2/04 - Exercício 3 Mostre que se $X$ e $Y$ são Hausdorff, então $X \times Y$ também é.	Exercícios da lista	J2 A V	3	2021-12-17 23:54:47.776Z
Lista 2/02 - Exercício 4 O conjunto dos racionais com sua topologia usual é um espaço normal? Se for, apresente uma função contínua $f : Q \to [0, 1]$ que separe os conjuntos $[1, 2]$ e $[3, 4]$ .	Exercícios da lista	V A	15	2021-12-17 23:40:30.072Z
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Lista 2/05 - Exercício 1 Mostre que se $X_{λ}$ ( $λ \in Λ$ ) são espaços de Hausdorff, então $X = \prod_{λ \in Λ} X_{λ}$ também é Hausdorff.	Exercícios da lista	G R	1	2021-12-17 12:43:38.366Z
Lista 2/03 - Exercício 7 Este exercício pretende obter uma relação entre os fechados de um subespaço topológico com os fechados do espaços maior. Seja $(X, τ)$ um espaço topológico e $Y \subset X$ um subespaço topológico de $X$ munido da topologia induzida. Dado $F \subset ...	Exercícios da lista	R J A	2	2021-12-17 05:49:09.047Z
Lista 2/01 Exercício 6.3 Topologia usada por Furstenberg pra demonstrar que existem infinitos primos. $X = Z$ . E os abertos são, além do vazio, as uniões de conjuntos da forma $S (a, b) = {a n + b ∣ n \in Z}$	Exercícios da lista	V J A	21	2021-12-16 18:33:01.654Z
Lista 2/01 - Exercício 1 (5.2.4 apostila) Considere $f : (X, τ_{X}) \to (Y, τ_{Y})$ . Se $F$ é uma família geradora da topologia $τ_{X}$ , então, $f$ é aberta se, e somente se, $f (F) \subseteq τ_{Y}$ .	Dúvidas sobre exercícios	M A M	11	2021-12-16 16:57:06.435Z
Lista 2/04 - Exercício 9 Mostre que nem sempre a projeção $π_{1} : X \times Y \to X$ é fechada.	Exercícios da lista	A R T	6	2021-12-16 14:41:52.182Z
Prova do Lema de Urysohn Antes de enunciar e provar o Lema de Urysohn, vamos provar o seguinte: Lema 1: Sejam $(X, τ)$ um espaço topológico normal, $F \subset X$ um conjunto fechado e $A$ um aberto tal que $F \subset A$ . Então existe $U \in τ$ tal que $$F \subset U \sub...	Lema de Urysohn	T A T	2	2021-12-16 11:18:24.302Z
Lista 2/04 - Exercício 4 Dada uma função contínua $f : X \to Y$ , denote por $G r (f) = {(x, f (x)) \| x \in X}$ o gráfico de f. E por $\begin{aligned} g r (f) : X & \to X \times Y \\ x & \mapsto (x, f (x)) \end{aligned}$ a função gráfico. Mostre que $g r (f)$ é um homeom...	Exercícios da lista	M2 R M2	4	2021-12-15 18:38:22.041Z
Lista 2/03 - Exercício 10 Seja $(E, \| \| . \| \|)$ um espaço vetorial normado de dimensão infinita. Considere a topologia fraca em $E : τ_{w}$ . Ou seja, a topologia inicial gerada pelas funcionais lineares que são contínuos (na topologia da norma). Mostre que todo aberto fraco não v...	Exercícios da lista	M2 G A	7	2021-12-15 15:15:24.804Z
Lista 2/04 - Exercício 2 Em um espaço vetorial topológico $E$ , um conjunto $D \subset E$ é chamado de convexo quando é fechado por combinações convexas. Ou seja, quando para quaisquer $α, β \in [0, 1]$ tais que $α + β = 1$ , e quaisquer $x, y \in D$ , $$\alph...	Exercícios da lista	G R A	5	2021-12-15 14:00:54.760Z
Lista 2/03 - Exercício 2 Em um espaço topológico, um conjunto pode ser aberto e fechado ao mesmo tempo. Neste caso, alguns gostam de dizer que o conjunto é clopen. Em $Q \subset R$ , mostre que $[a, b) \cap Q$ é clopen em $Q$ se, e somente s...	Exercícios da lista	G A J R	16	2021-12-15 13:23:07.414Z
Duas bases que geram a mesma topologia em $R$ Vi este exercício no Munkres. Mostrar que as famílias $B = {(a, b) : a < b, a, b \in R}$ e $B^{'} = {(a, b) : a < b, a, b \in Q}$ geram a mesma topologia (padrão) em $R$ . Eu procedi assim: Denote por $\tau(...	Ideas	M A	1	2021-12-15 13:20:56.214Z
Lista 2/01 Exercício 5.3 c) Para cada um dos casos abaixo, mostre que $(X, τ)$ é uma topologia. $X = {x \in R^{N} \| \sum_{n = 0}^{\infty} \| x_{n} \| < \infty} .$ c) Considere a família $$\mathscr{B}=\left\{(a_{0},b_{0})\times\cdots\times(a_{n...	Exercícios da lista	E A E	4	2021-12-15 11:50:22.009Z
O que é topologia inicial? Atenção: esse post é um exemplo de como eu acho que deveriam ser as perguntas feitas por pessoas que estão tendo um pouco de dificuldade em acompanhar o curso. Quem quiser dar um exemplo de resposta, fique à vontade. Pessoal, no vídeo abaixo, o profe...	Dúvidas sobre os vídeos	A	0	2021-12-14 18:37:28.599Z
Lista 2/01 Exercício 5.3 b) Para cada um dos casos abaixo, mostre que $(X, τ)$ é uma topologia. $\begin{array}{r} X = {x \in R^{N} \| \sum_{n = 0}^{\infty} \| x_{n} \| < \infty} \end{array}$ Onde $τ$ é formado pelo vazio, e também pelas uniões arbitrária...	Exercícios da lista	J V A A	19	2021-12-14 17:14:55.050Z
Lista 2/02 - Exercício 3 Este exercício pretende mostrar sob quais condições uma função entre dois determinados espaços topológicos preserva o axioma de separação $T_{4}$ . Lembrete: Um espaço topológico $(X, τ)$ é dito ser $T_{4}$ quando é $T_{1}$ e normal, simultaneamente. Exer...	Exercícios da lista	R J G A	21	2021-12-14 17:10:22.527Z
[Lista 2/03 - Exercício 12] Teorema de Hahn-Banach para mostrar o Teorema de Mazur Seja $(E, \| \| . \| \|)$ um espaço vetorial normado de dimensão infinita. Dizemos que $E$ é um espaço de Banach quando toda sequência de Cauchy em $E$ é convergente. Em $E$ está definida a topologia da norma, porém ela apresenta bastante limitações quando se...	Série A	R A	2	2021-12-14 16:58:22.746Z
Demonstração que $τ^{f} = {A \subset X \| f^{- 1} (A) \in τ}$ é topologia, sendo $f : (Y, τ) \to X$ . Note que $\emptyset$ e $X$ pertencem a $τ^{f}$ pois $f^{- 1} (\emptyset) = \emptyset \in τ$ e $f^{- 1} (X) = Y \in τ$ . Além disso, dados $A, B \in X$ tais que as imagens inversas pertencem a $τ$ , ou seja, dados $A, B \in τ^{f}$ , temos que $f^{-1}(A\cap B...	Ideas	A	1	2021-12-14 13:00:28.114Z
Lista 2/03 - Exercício 6 Seja $q_{n} \in Q$ tal que $q_{n} \to \sqrt{2}$ . Mostre que $B_{n} = {q_{n} \| n \in N^{}}$ é clopen em $X = {m + q_{n} \| m \in N, n \in N^{}} .$	Exercícios da lista		0	2021-12-14 12:57:44.380Z
Demonstração - Lema de Urysohn Lema de Urysohn: Seja $(X, τ)$ um espaço topológico normal e sejam $F, G \subset X$ fechados disjuntos. Então existe $f : X \to [0, 1]$ contínua tal que $f \equiv 0$ em $F$ e $f \equiv 1$ em $G$ . Demonstração: Desde que $F$ e $G$ são fechados disjuntos,...	Lema de Urysohn	R	0	2021-12-13 20:22:04.338Z
Lista 2/02 - Exercício 6 Seja $X$ um espaço $T_{3}$ , e $F (x)$ a família das vizinhanças fechadas de $x$ . Dado um conjunto $D \subset X$ , mostre que $a \in \overset{―}{D}$ se, e somente se, $\begin{array}{r} \emptyset \notin F (a) \|_{D} . \end{array}$	Exercícios da lista	J R A	5	2021-12-13 14:16:00.262Z
Dividindo em séries A e B Existem diferentes níveis de pessoas no nosso grupo. Por isso, teremos exercícios mais fáceis, e mais regalias para pessoas sem tanto contato com a disciplina. Cada um escolhe a categoria que acredita se encaixar. Escreva aqui seu nome, pra indicar s...	General	A D R A	3	2021-12-13 13:04:57.692Z
Lista 2/02 - Exercício 1 Seja $(X, τ)$ um espaço topológico que satisfaz determinado axioma de separação: $T_{0}, T_{1}$ , Hausdorff, regular, $T_{3}$ , etc. Mostre que se tomarmos $τ^{'}$ , um refinamento de $τ$ , $τ^{'}$ satisfaz esse mesmo axioma de separação.	Exercícios da lista	D A	3	2021-12-13 12:49:47.429Z
Lista 2/01-Exercício 8 Mostre que uma função $f : X \to Y$ entre espaços topológicos é contínua se, e somente se, para todo $D \subset X$ , $f (\overset{―}{D}) \subset \overset{―}{f (D)}$	Exercícios da lista	V A G	3	2021-12-13 01:02:33.326Z
Lista 2/01 - Exercício 2 Seja $X$ um conjunto não enumerável, considere a topologia discreta $τ$ e a topologia co-enumerável $γ$ . Mostre que a identidade $\begin{aligned} f : (X, γ) & \to (X, τ) \\ x & \mapsto x \end{aligned}$ não é contínua, mas é sequencialm...	Exercícios da lista	G J A	2	2021-12-11 18:00:56.844Z
Dúvida sobre notação (notas de aula - Definição 5.5). Estive estudando pelas notas de aula e me deparei com (Definição 5.5 - topologia gerada por $C \subset P (X)$ ): $τ (C) = \underset{C \subset τ_{X}}{⋁} τ_{X}$ Lá diz a menor topologia contendo a família $\m...	Dúvidas	U A	3	2021-12-11 12:20:43.267Z
Lista 2/01 - Exercício 5.2 Exercício 5.Para cada um dos casos abaixo, mostre que $(X, τ)$ é uma topologia 2. Topología Caótica. $X = [9, 15] τ = {\emptyset, [9, 15]}$	Exercícios da lista	J	1	2021-12-10 21:09:17.759Z
Lista 2/01 - Exercício 5.6 (Reais estendidos) Seja $X = R \cup {\infty, - \infty}$ . Denote a topologia usual dos reais por $γ$ . Seja $$ \tau = \gamma\cup\left\{ [-\infty,a) \ \| \ a\in\mathbb{R} \right\}\cup\left\{ (a,\infty] \ \| \ a\in\mathbb{R} \right\}\cup\left\{ [-\inf...	Exercícios da lista		0	2021-12-10 20:49:06.436Z
Lista 1/03 - Exercício 1.2 Para os casos a seguir, verifique que os sitemas de vizinhanças descritos definem uma topologia. Ou seja, verifique que satisfazem os axiomas de 1 a 5 descritos na vídeo aula. Tente descrever em português o significado de $x \in \overset{―}{B}$ em cada...	Exercícios da lista	T J M A	8	2021-12-10 20:40:09.384Z
Lista 2/01 - Exercício 4 Este exercício traz uma caracterização de continuidade através de 2 conceitos mais fracos: Os de semicontinuidade inferior e superior: Definição: Seja $(X, τ)$ um espaço topológico e $f : X \to R$ uma função. Dizemos que: $f$ é semicontínua...	Exercícios da lista	R A J	13	2021-12-10 17:57:41.778Z
Possíveis topologias em um conjunto Determine todas as possíveis topologias em $X = {a, b, c}$ . Este é um ótimo exercício para treinar a definição de topologia.	Desafio	T R	5	2021-12-10 17:07:01.503Z

Tópicos, mais recentemente ativo primeiro

Categoria

Usuários

Respostas

Atividade

Mergulho num espaço produto

Li uma coisa interessante no livro do Munkres e resolvi um exercício relacionado que acredito ser de interesse. Seja

f : X \to Y

uma função injetiva e contínua e denote por

Z

o conjunto

f (X)

. Veremos

Z

como um subespaço de

Y

(consideramos a r...

Dúvidas sobre exercícios

M A

2021-12-20 02:30:27.753Z

Aula-15/12/2021- Video- Produto de Duas Topologias

Mostre que a função

d e t : (R^{n})^{n} \to R

M \mapsto d e t (M)

é continua na topologia produto. View on YouTube

Dever de casa dos vídeos

D A R M

2021-12-20 01:37:55.271Z

Lista 2/05 - Exercício 2.3

Seja

C ([a, b])

o espaço das funções contínas

f : [a, b] \to R

munido da topologia produto. Mostre que a aplicação à seguir é contínua: \begin{align*} \phi : C([3,5]) &\rightarrow C([-3,6]) \ f &\mapsto \begin{array}[t]{lrl} \phi(f)...

Exercícios da lista

M2 A T

2021-12-19 20:02:05.573Z

Aula-15/12/2021- Video- Produto de Duas Topologias

Formalize a demonstração do seguinte exemplo: (Operação de soma de dois números Reais) A função

S : R \times R \to R

dada por

S (x, y) = x + y

é contínua na topologia produto. View on YouTube

Dever de casa dos vídeos

D A T

2021-12-19 13:10:14.100Z

Lista 2/05 - Exercício 4

A topologia produto no cubo

Ω = [0, 1]^{N}

é metrizável, isto é, existe uma métrica em

Ω

que gera sua topologia. Encontre uma tal métrica e responda, do ponto de vista topológico, qual é a relação entre esse métrica e a do supremo.

Exercícios da lista

T A R

2021-12-19 13:08:13.370Z

Lista 2/05 - Exercício 3

O verdadeiro cubo de Hilbert é na realidade o conjunto:

C = \prod_{n \in N} [0, 1 / n] = [0, 1] \times [0, 1 / 2] \times . . . \times [0, 1 / n] \times . . .

No entanto, ele é homeomorfo ao conjunto

X = [0, 1]^{N}

(ou seja, do ponto de vista t...

Exercícios da lista

R A A

2021-12-18 14:42:05.748Z

Lista 2/03 - Exercício 11

Considere a norma do máximo

‖ \cdot ‖_{\infty}

R^{n}

(na verdade, o exercício funciona com qualquer norma em

R^{n}

, pois todas são equivalentes). Mostre que a topologia fraca em

(R^{n}, ‖ \cdot ‖_{\infty})

é igual à topo...

Exercícios da lista

J A

2021-12-18 13:08:49.256Z

Lista 2/01 Exercício 5.5

Mostre que

τ

é uma topologia. Seja

X

um conjunto não enumerável. Por exemplo,

X = R

. (a)

τ = {\emptyset} \cup {A \subset X ∣ A^{c} é finito}

(b) $\tau = \{ \emptyset \} \cup \{ A \subset X \mid A^c \ \mbox{é e...

Exercícios da lista

J2 J A

2021-12-18 00:00:06.935Z

Lista 2/04 - Exercício 3

Mostre que se

X

Y

são Hausdorff, então

X \times Y

também é.

Exercícios da lista

J2 A V

2021-12-17 23:54:47.776Z

Lista 2/02 - Exercício 4

O conjunto dos racionais com sua topologia usual é um espaço normal? Se for, apresente uma função contínua

f : Q \to [0, 1]

que separe os conjuntos

[1, 2]

[3, 4]

Exercícios da lista

V A

2021-12-17 23:40:30.072Z

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Lista 2/05 - Exercício 1

Mostre que se

X_{λ}

(

λ \in Λ

) são espaços de Hausdorff, então

X = \prod_{λ \in Λ} X_{λ}

também é Hausdorff.

Exercícios da lista

G R

2021-12-17 12:43:38.366Z

Lista 2/03 - Exercício 7

Este exercício pretende obter uma relação entre os fechados de um subespaço topológico com os fechados do espaços maior. Seja

(X, τ)

um espaço topológico e

Y \subset X

um subespaço topológico de

X

munido da topologia induzida. Dado $F \subset ...

Exercícios da lista

R J A

2021-12-17 05:49:09.047Z

Lista 2/01 Exercício 6.3

Topologia usada por Furstenberg pra demonstrar que existem infinitos primos.

X = Z

. E os abertos são, além do vazio, as uniões de conjuntos da forma

S (a, b) = {a n + b ∣ n \in Z}

Exercícios da lista

J A

2021-12-16 18:33:01.654Z

Lista 2/01 - Exercício 1 (5.2.4 apostila)

Considere

f : (X, τ_{X}) \to (Y, τ_{Y})

. Se

F

é uma família geradora da topologia

τ_{X}

, então,

f

é aberta se, e somente se,

f (F) \subseteq τ_{Y}

Dúvidas sobre exercícios

M A M

2021-12-16 16:57:06.435Z

Lista 2/04 - Exercício 9

Mostre que nem sempre a projeção

π_{1} : X \times Y \to X

é fechada.

Exercícios da lista

A R T

2021-12-16 14:41:52.182Z

Prova do Lema de Urysohn

Antes de enunciar e provar o Lema de Urysohn, vamos provar o seguinte: Lema 1: Sejam

(X, τ)

um espaço topológico normal,

F \subset X

um conjunto fechado e

A

um aberto tal que

F \subset A

. Então existe

U \in τ

tal que $$F \subset U \sub...

Lema de Urysohn

T A T

2021-12-16 11:18:24.302Z

Lista 2/04 - Exercício 4

Dada uma função contínua

f : X \to Y

, denote por

G r (f) = {(x, f (x)) | x \in X}

o gráfico de f. E por

\begin{aligned} g r (f) : X & \to X \times Y \\ x & \mapsto (x, f (x)) \end{aligned}

a função gráfico. Mostre que

g r (f)

é um homeom...

Exercícios da lista

M2 R M2

2021-12-15 18:38:22.041Z

Lista 2/03 - Exercício 10

Seja

(E, | | . | |)

um espaço vetorial normado de dimensão infinita. Considere a topologia fraca em

E : τ_{w}

. Ou seja, a topologia inicial gerada pelas funcionais lineares que são contínuos (na topologia da norma). Mostre que todo aberto fraco não v...

Exercícios da lista

M2 G A

2021-12-15 15:15:24.804Z

Lista 2/04 - Exercício 2

Em um espaço vetorial topológico

E

, um conjunto

D \subset E

é chamado de convexo quando é fechado por combinações convexas. Ou seja, quando para quaisquer

α, β \in [0, 1]

tais que

α + β = 1

, e quaisquer

x, y \in D

, $$\alph...

Exercícios da lista

G R A

2021-12-15 14:00:54.760Z

Lista 2/03 - Exercício 2

Em um espaço topológico, um conjunto pode ser aberto e fechado ao mesmo tempo. Neste caso, alguns gostam de dizer que o conjunto é clopen. Em

Q \subset R

, mostre que

[a, b) \cap Q

é clopen em

Q

se, e somente s...

Exercícios da lista

G A J R

2021-12-15 13:23:07.414Z

Duas bases que geram a mesma topologia em

R

Vi este exercício no Munkres. Mostrar que as famílias

B = {(a, b) : a < b, a, b \in R}

B^{'} = {(a, b) : a < b, a, b \in Q}

geram a mesma topologia (padrão) em

R

. Eu procedi assim: Denote por $\tau(...

Ideas

M A

2021-12-15 13:20:56.214Z

Lista 2/01 Exercício 5.3 c)

Para cada um dos casos abaixo, mostre que

(X, τ)

é uma topologia.

X = {x \in R^{N} | \sum_{n = 0}^{\infty} | x_{n} | < \infty} .

c) Considere a família $$\mathscr{B}=\left\{(a_{0},b_{0})\times\cdots\times(a_{n...

Exercícios da lista

E A E

2021-12-15 11:50:22.009Z

O que é topologia inicial?

Atenção: esse post é um exemplo de como eu acho que deveriam ser as perguntas feitas por pessoas que estão tendo um pouco de dificuldade em acompanhar o curso. Quem quiser dar um exemplo de resposta, fique à vontade. Pessoal, no vídeo abaixo, o profe...

Dúvidas sobre os vídeos

2021-12-14 18:37:28.599Z

Lista 2/01 Exercício 5.3 b)

Para cada um dos casos abaixo, mostre que

(X, τ)

é uma topologia.

\begin{array}{r} X = {x \in R^{N} | \sum_{n = 0}^{\infty} | x_{n} | < \infty} \end{array}

Onde

τ

é formado pelo vazio, e também pelas uniões arbitrária...

Exercícios da lista

J V A A

2021-12-14 17:14:55.050Z

Lista 2/02 - Exercício 3

Este exercício pretende mostrar sob quais condições uma função entre dois determinados espaços topológicos preserva o axioma de separação

T_{4}

. Lembrete: Um espaço topológico

(X, τ)

é dito ser

T_{4}

quando é

T_{1}

e normal, simultaneamente. Exer...

Exercícios da lista

R J G A

2021-12-14 17:10:22.527Z

[Lista 2/03 - Exercício 12] Teorema de Hahn-Banach para mostrar o Teorema de Mazur

Seja

(E, | | . | |)

um espaço vetorial normado de dimensão infinita. Dizemos que

E

é um espaço de Banach quando toda sequência de Cauchy em

E

é convergente. Em

E

está definida a topologia da norma, porém ela apresenta bastante limitações quando se...

Série A

R A

2021-12-14 16:58:22.746Z

Demonstração que

τ^{f} = {A \subset X | f^{- 1} (A) \in τ}

é topologia, sendo

f : (Y, τ) \to X

Note que

\emptyset

X

pertencem a

τ^{f}

pois

f^{- 1} (\emptyset) = \emptyset \in τ

f^{- 1} (X) = Y \in τ

. Além disso, dados

A, B \in X

tais que as imagens inversas pertencem a

τ

, ou seja, dados

A, B \in τ^{f}

, temos que $f^{-1}(A\cap B...

Ideas

2021-12-14 13:00:28.114Z

Lista 2/03 - Exercício 6

Seja

q_{n} \in Q

tal que

q_{n} \to \sqrt{2}

. Mostre que

B_{n} = {q_{n} | n \in N^{*}}

é clopen em

X = {m + q_{n} | m \in N, n \in N^{*}} .

Exercícios da lista

2021-12-14 12:57:44.380Z

Demonstração - Lema de Urysohn

Lema de Urysohn: Seja

(X, τ)

um espaço topológico normal e sejam

F, G \subset X

fechados disjuntos. Então existe

f : X \to [0, 1]

contínua tal que

f \equiv 0

F

f \equiv 1

G

. Demonstração: Desde que

F

G

são fechados disjuntos,...

Lema de Urysohn

2021-12-13 20:22:04.338Z

Lista 2/02 - Exercício 6

Seja

X

um espaço

T_{3}

, e

F (x)

a família das vizinhanças fechadas de

x

. Dado um conjunto

D \subset X

, mostre que

a \in \overset{―}{D}

se, e somente se,

\begin{array}{r} \emptyset \notin F (a) |_{D} . \end{array}

Exercícios da lista

J R A

2021-12-13 14:16:00.262Z

Dividindo em séries A e B

Existem diferentes níveis de pessoas no nosso grupo. Por isso, teremos exercícios mais fáceis, e mais regalias para pessoas sem tanto contato com a disciplina. Cada um escolhe a categoria que acredita se encaixar. Escreva aqui seu nome, pra indicar s...

General

A D R A

2021-12-13 13:04:57.692Z

Lista 2/02 - Exercício 1

Seja

(X, τ)

um espaço topológico que satisfaz determinado axioma de separação:

T_{0}, T_{1}

, Hausdorff, regular,

T_{3}

, etc. Mostre que se tomarmos

τ^{'}

, um refinamento de

τ

τ^{'}

satisfaz esse mesmo axioma de separação.

Exercícios da lista

2021-12-13 12:49:47.429Z

Lista 2/01-Exercício 8

Mostre que uma função

f : X \to Y

entre espaços topológicos é contínua se, e somente se, para todo

D \subset X

f (\overset{―}{D}) \subset \overset{―}{f (D)}

Exercícios da lista

V A G

2021-12-13 01:02:33.326Z

Lista 2/01 - Exercício 2

Seja

X

um conjunto não enumerável, considere a topologia discreta

τ

e a topologia co-enumerável

γ

. Mostre que a identidade

\begin{aligned} f : (X, γ) & \to (X, τ) \\ x & \mapsto x \end{aligned}

não é contínua, mas é sequencialm...

Exercícios da lista

G J A

2021-12-11 18:00:56.844Z

Dúvida sobre notação (notas de aula - Definição 5.5).

Estive estudando pelas notas de aula e me deparei com (Definição 5.5 - topologia gerada por

C \subset P (X)

τ (C) = \underset{C \subset τ_{X}}{⋁} τ_{X}

Lá diz a menor topologia contendo a família $\m...

Dúvidas

U A

2021-12-11 12:20:43.267Z

Lista 2/01 - Exercício 5.2

Exercício 5.Para cada um dos casos abaixo, mostre que

(X, τ)

é uma topologia 2. Topología Caótica.

X = [9, 15] τ = {\emptyset, [9, 15]}

Exercícios da lista

2021-12-10 21:09:17.759Z

Lista 2/01 - Exercício 5.6 (Reais estendidos)

Seja

X = R \cup {\infty, - \infty}

. Denote a topologia usual dos reais por

γ

. Seja $$ \tau = \gamma\cup\left\{ [-\infty,a) \ | \ a\in\mathbb{R} \right\}\cup\left\{ (a,\infty] \ | \ a\in\mathbb{R} \right\}\cup\left\{ [-\inf...

Exercícios da lista

2021-12-10 20:49:06.436Z

Lista 1/03 - Exercício 1.2

Para os casos a seguir, verifique que os sitemas de vizinhanças descritos definem uma topologia. Ou seja, verifique que satisfazem os axiomas de 1 a 5 descritos na vídeo aula. Tente descrever em português o significado de

x \in \overset{―}{B}

em cada...

Exercícios da lista

J M A

2021-12-10 20:40:09.384Z

Lista 2/01 - Exercício 4

Este exercício traz uma caracterização de continuidade através de 2 conceitos mais fracos: Os de semicontinuidade inferior e superior: Definição: Seja

(X, τ)

um espaço topológico e

f : X \to R

uma função. Dizemos que:

f

é semicontínua...

Exercícios da lista

R A J

2021-12-10 17:57:41.778Z

Possíveis topologias em um conjunto

Determine todas as possíveis topologias em

X = {a, b, c}

. Este é um ótimo exercício para treinar a definição de topologia.

Desafio

T R

2021-12-10 17:07:01.503Z